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Nombre de solutions entières non négatives de 
l'équation ax -\- by c (*). 
Théorème. — Le nombre de solutions entières non négatives 
de l'équation ax + by = c égale le quotient q de c par ab (quotient 
exact ou par défaut) augmenté du nombre de solutions entières 
non négatives de l'équation ax + by = r = c — abq. 
Premirr cas. — .c est divisible par a et par b. Aux q-~i 
solutions positives il faut ajouter les deux solutions 
donc, si \c est le nombre de solutions entières non négatives 
de l'équation en c, on a 
x = 0 
y = aq 
et 
y = o 
X = hq\ 
r/ + 1. 
Quant à l'équation en r. 
ax + by = 0, 
elle admet l'unique solution non négative 
x = 0, 
ainsi 
= 1 et X, = ^/ + X^ 
(1) Catalan, Paolis et E. Cesaro se sont occupés de cette question. 
Lucas, dans sa Théorie des Nombres, donne de la propriété un énoncé 
inexact. 
