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Deuxième cas. — .c est divisible seulement par Vun des coe/fi- 
cients. Soit c = ak. Aux q solutions entières et positives de 
l'équation 
ax + hy = ak, 
il faul ajouter la solution 
X = k, y = 0; 
donc 
Quant à l'équation en r, 
ax -{- by = r ^ c — abq = a(k — bq), 
comme, de 
on déduit 
0 < k — bq < b, 
elle admet la solution non négative 
x-'-=k — bq, y = 0; 
de sorte que Xr = 1 et, par conséquent, Xc = g + X,. 
Troisième cas. — c. n'est divisible ni par a ni par b. Les 
équations en c et en r n'admettent dans ce cas aucune solution 
dans laquelle une des inconnues a une valeur nulle; le nombre 
des solutions non négatives est donc celui des solutions posi- 
tives déterminé antérieurement, et l'on a vu (p. 12) que Ne égale 
ou g + 1, suivant que N,- est 0 ou 1. Donc, etc. 
