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on 
px' py' pz' 
T' T' T' 
On conclut de là que est l'homologue dans le triangle 
ABC du point M, considéré comme appartenant au triangle 
A'B'C. Ainsi : un point et le centre de gravité de son triangle 
réflexe se correspondent dans deux figures inversement semblables, 
ayant pour droites doubles les droites A e< A' ; le rapport de simi- 
litude est |. 
12. Soient A'^ B'^ les projections du centre de gravité 
de ABC sur les hauteurs de ce triangle; on déduit la figure 
A'^B"C'^ de la figure ABC de la même façon que l'on déduit 
ABC de X'WC Le triangle A"B"C'' est donc inversement 
semblable à ABC (et directement semblable à A'BC); les 
droites doubles sont encore ^ et ^' et le rapport de similitude 
estTj. 
Tl résulte de là que si l'on considère le point M comme 
appartenant à ABC, son homologue dans la figure A"B"C" 
sera M'. Mais M^M^M^ est maintenant le triangle réflexe de M 
par rapport au plus grand des deux triangles inversement 
semblables ABC, A'^B"C". Comme on peut remplacer A"B''C'^ 
par ABC et ABC par A'B^C^ on voit que M' est aussi le centre 
de gravité du triangle réflexe de M par rapport à A'B^C; par 
conséquent les triangles réflexes (ou les triangles podaires) de 
M par rapport aux triangles ABC, A'B'C ont même centre de 
gravité. Ainsi : si l'on construit une suite de triangles tels que 
chacun d'eux ait pour sommets les projections du centre de gravité 
du précédent sur les hauteurs, les triangles podaires d'un point 
quelconque par rapport à tous ces triangles ont même centre de 
gravité. 
13. Lorsque le point M décrit le cercle AB(i, le point M' 
décrit le cercle orthocentroïdal A''B"C". Donc, le cercle ortho- 
centroïdal est le lieu du centre de gravité des symétriques d'un 
