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une nécessité qui s'impose dans la théorie des équations diffé- 
rentielles. 
Il est bien connu, en eff'et, que les séries de Thomé, satisfai- 
sant formellement à l'équation 
/.ri" ^ ri"-i \ 
OÙ 
1 
' = -, 
X 
sont en général divergentes quand Pq s'annule pour t = 0, 
quand bien même les coefficients PoPi.-.P^^^ sont des fonc- 
tions holomorphes de ^ 
Le fait est encore vrai pour les solutions de l'équation 
(P D" + PiD"-^ + ... + P,)y = 0, (11) 
où 
quand on développe ces solutions en séries ordonnées par 
rapport au paramètre variable x, tendant vers + oo, si P^ 
s'annule pour x = oo. Pour en avoir des exemples, il suffira de 
remplacer dans l'équation (10) t par 
* 
Enfin, et c'est la raison déterminante qui nous engage à 
présenter ce travail, la théorie des développements asympto- 
tiques constitue une méthode tout à fait pratique, dans la 
plupart des cas, pour décider de la convergence ou de la 
divergence d'une série, et cela sans se tenir à la convergence 
absolue. 
Nous montrons, en effet, dans une note annexée à ce travail, 
