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Pour montrer la dépendance qui existe entre cette troisième 
partie et la seconde, signalons cette propriété (nouvelle) que 
ces solutions formelles sont constituées d'un produit de deux 
facteurs, facteur principal et facteur secondaire; et que le 
facteur principal est de la forme 
OÙ cp est un polynôme eixx qui, dans le cas général, est égal à 
la partie principale d'une racine <ï> de l'équation algébrique (45). 
* 
Enfin, la quatrième et dernière partie démontrera que ces 
solutions formelles, construites dans la troisième partie, 
permettent de développer asymptotiquement les solutions 
exactes de l'équation (11) et de l'équation (16). 
l a littérature mathématique, abondante pour'les dévelop- 
pements asymptotiques dans les équations différentielles sans 
paramètre variable, est bien peu nombreuse pour les équations 
avec paramètre variable. 
Après les théorèmes bien connus de M. Poincaré (*) et de 
M. Picard (**), qui s'appliquent au cas où les coefficients 
Pq P| .... P^ sont holomorphes pour a? = oo, sans que Pq s'an- 
nule pour cette valeur ^ = oo, et qui annoncent que dans ce 
cas la solution y est également holomorphe pour x = oc, si les 
conditions initiales le sont, 
après ces théorèmes, nous n'avons rencontré que les deux 
beaux mémoires de J. Horn publiés dans le tome LU des 
Malhemalische Annalen (1899). Ces mémoires se limitent aux 
équations différentielles du deuxième ordre et emploient des 
méthodes qui ne suffisent plus pour les ordres supérieurs. 
(♦) H. Poincaré, Acta mathematica, t. XIII (1890), p. 9. 
(**) E. Picard, Traité d'analyse^ â'ne édition, t. III, p. 88. 
