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Exemples : 
Fonctions de la classe ^J^ix) : 
Séries génératrices : 
1 
x — i 
xm-\-l 
x-^-{-x-^^.r-'à-\--- 
X — 1 
l+ar-i + j;-2-| yx-i 
ocP-\-x'i {p,q étant des entiers fixes). 
X-i 
X^C-^. 
xtn _|_ x^^^-^ -f- »i- - -f a; "^-3 -] 
1 + x-i + x-^ -h .-c-s + • . . 
a'îJ + o;^ 
0 
0. 
70^*. La somme, la différence, le produit de deux fonc- 
tions ^Kj) sont encore des fonctions ii'(ar). Il en est de même 
de l'inverse d'une fonction ^{x) quand le premier terme de la 
série génératrice ne s'annule pas dans l'intervalle z^z^^ (fron- 
tières comprises). Auquel cas le premier coefficient de la série 
génératrice est une fonction de z qui reste supérieure, en 
module, à un nombre positif fixe, cela en raison de sa conti- 
nuité, continuité assurée par l'existence d'une dérivée. 
Enfin la dérivée prise par rapport à ^ et l'intégrale (entre Zq 
et z, ces deux nombres étant dans Zyz^ d'une fonction S^) 
sont encore des fonctions 'I{x). (Pour la dérivée, cela découle 
de la définition, et pour l'intégrale cela est une conséquence 
du n« 50.) 
70^. La série (1) du n" 70 est dite série génératrice de toute 
fonction u[x, z,j) de la forme 
SÉRIE GÉNÉRATRICE. 
u{x, = . + -i 4- ... + - + 00. 
