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la formule (5) sera appelé par nous la multiplicilé i\e h radi- 
cale cp (*). 
Celle mulliplicilé m esl toujours ^ 1. (Voir 159.) 
149. Nous allons voii' (|ue, m clanl la mulliplicité de la 
radicale considérée, la série généralrice du facteur secondaire 
u esl complèlemenl déterminée (juand on donne pour z = 
les séries génératrices de 
Y; l)Y; . . . D—^Y, 
ou, ce qui revient au même puisque le facteur principal T est 
connu, quand on donne pour z = z^^ les séries génératrices de 
?/, D?/, . . . {y^'-hi. 
150. Montrons d'abord (jue ce problème comporte au 
moiiKs une solution. 
Soient 
K, h, (7) 
les fondions formées par les j premiers termes de ces généra- 
trices données en dernier lieu. 
151. Nous supposerons d'abord que ces b. soient des 
constantes, donc \(x . z . /). 
152. Construisons la fonction Wq{z) déterminée par l'éciua- 
lion différentielle d'ordre m 
(GD)m;o^O, (8) 
(*) En d'autres termes, la mulliplicilé est })i lorsque, dans l'équation 
différenlielle du facteur secondaire les coefficients de l'ordre le plus élevé 
sont multipliés par une dérivée de u, sans l'être par une dérivée 
d'ordre supérieur à m 
Ou plus simplement : La multiplicité m est l'ordre de l'équation différen- 
tielle en u, équation écrite pour x = -\-cc. 
