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263. Donc, comme nous l'annoncions au numéro 258, 
toutes les hypothèses A, B, C, D de l'énoncé sont vérifiées par 
la fonction w et l'opérateur (GD). Comme cet opérateur est 
d'ordre (n — 1) < n, nous pourrons appliquer à la fonction w 
la thèse E' ou selon que se présentera pour cette fonction w 
l'éventualité E ou F. 
Mais cette éventualité, qui se présentera pour lo, sera en 
général la même que celle qui se présentera pour t. On peut 
voir en effet que : 
264. l"* Si T subit l'éventualité E, w subira aussi l'éven- 
tualité E (avec [n — 1] au lieu de n). (Voir n*» 288.) 
Et, par suite, puisque le théorème proposé est applicable à 
la fonction w, cette fonction w vérifiera la thèse E' tout le 
long de ziZc^. 
265. 2° Si, au contraire, t subit l'éventualité (F), alors 
ou bien 
T=i/.î(7r^(x)+ôôT,c), 
et le théorème est vérifié. (Voir n'' 289.) 
266. Ou bien 
T H= . r(7r^(Xj+ ÔÔ T, (r = 1, 2, ... n), 
et alors w sera, comme t, soumise à l'éventualité (F). 
(Voir n° 290.) 
Et, par suite, cette fonction w vérifiera la thèse (F^) tout le 
long de ZjZg. 
C) On ne peut avoir x = ?/ . fP + ÔÔ . T,. avec |Tr 14=1^/1 i, car alors on 
aurait | IV i > I T^l et, par suite, x = OTT T,., relation indéfiniment dérivable 
tout le long de ZiZ^ Ce qui est en contradiction avec l'éventualité iF). 
