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Kappelons d'abord que, d'après un théorème d'Abel, la 
convergence de la série 
I m (8) 
ne sera pas altérée si l'on multiplie ses termes respectivement 
par les termes de la suite 
v{\), - (6) 
à condition que cette suite soit à variation bornée, c'esl- à-dire 
que la série 
X=oo 
I l^fWI (7) 
onvergente (*) (**). 
âiarquons qu'en vertu de cette condition (7) la série 
ÛC=l 
sera (absolument) convergente. Donc la fonction 
v{x) = v{\) 4- I ^v(i) + + ^î^(3) -\ [- ^v(x-^\)\ 
tendra vers une limite finie et unique pour x = -\- oc. 
Je dis que si cette limite n'est pas nulle, donc si 
î;(+a)) + 0, (8) 
je dis qu'alors les deux séries 
U u{x) (5) 
X—L 
''^u(x).v{x) (9) 
seront équiconvergentes. 
(*) Jordan. Cours d'analyse, 2^ édition, t. I, p. 286, n» 300. 
(**) ^V{X} = v{x -f- 1) — v{x). 
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