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Nous savons déjà, par le théorème d'Abel, que la convergence 
de la série (5) entraîne la convergence de la série (9). 11 reste à 
montrer que, réciproquement, la convergence de (9) entraîne 
la convergence de (5). 
Pour cela posons 
la série (9) s'écrit 
CC=l 
et la série (5) devient 
V ÎV{X) . — 
^1 v(x) 
La propriété à démontrer, c'est-à-dire la convergence de 
(d^^s), résultera de la convergence de (9^^'^) encore par le même 
théorème d'Abel, si nous parvenons à prouver que la suite 
1 l 1 1 
v{ï)' v(^) vÇ6)' "' v(x)"' 
est à variation bornée, c'est-à-dire que la série 
1 
v(x) 
est convergente. 
Or, on a 
1 
1 
1 v{x) — v{x + \) 
v(x) v{x i) v(x) v{x) . v(x + 1) 
^v(x) 
v{x) .v(x-\- 1) 
(10) 
1 
Et puisqu'en vertu de (8) la fonction et par suite aussi 
1 1 ^'"^z 
; -, tend vers une limite linie et reste donc en 
v(x) v(x-{-\) 
