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Discutirt man die allgemeine Gleichung zweiten Grades 
aiiu2 + 2ai2uv + a^gV^ + 2ai3U + 2a23V + agg = o, 
so ergibt sich, dass dieselbe entweder in das System zweier Punkte 
zerfällt oder eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel darstellt. Rück- 
sicMlich der Einzelheiten dieser Discussion verweise ich auf die 
demnächst erscheinende Abhandlung. Ich erlaube mir an dieser 
Stelle nur Folgendes hervorzuheben. Lässt man einen Kreis die 
Coordinatenaxen in den Punkten 0 und Q berühren, so wird die 
Gleichung des Kreises 
u . V = :^e^. 
Betrachtet man eine Ellipse mit den Halbaxen b = ^ e und a, 
nimmt also die Tangenten in den Endpunkten der kleinen Axe zu 
Coordinatenaxen, so wird die Gleichung der Ellipse 
u , V = a^. 
Ebenso bedeutet 
u . V == — a^ 
eine analog liegende Hyperbel. Es ergibt sich hieraus eine sehr 
einfache Methode, durch Zeichnung die Ellipse und Hyperbel aus dem 
Kreise abzuleiten. 
Stellen wir mit der Kreisgleichung u , v = -Je^ die Gleichung 
des imaginären und, wie die Form seiner Gleichung zeigt, unendlich 
fernen, Punktes u — v = ei zusammen, so resultirt zur Ermittlung 
der 2 Tangenten, welche von dem Punkte aus an den Kreis gehen, 
die Gleichung v^ -f- vei — ^^e^ = o. Dieselbe besitzt zwei zu- 
sammenfallende Wurzeln, die beiden Tangenten sind von einander 
also nicht verschieden. Demnach gehört der Punkt dem Kxeise an. 
Jeder Kreis besitzt zwei unendlich ferne imaginäre Punkte mit den 
Gleichungen : 
u — v==ei, u — v = — ei. 
Der kundige Leser weiss, wie hiernach sich die Theorie der 
Brennpunkte für unser Coordinatensystem gestalten wird. 
Für die Kardioide (Sohnke Aufg. Dritte Aufl. S. 172) ergibt 
sich, wenn man die Doppeltangente zur Axe der u, die derselben 
parallele Tangente zur Axe der v nimmt und die Punkte 0, Q durch 
die Pückkehrtangente bestimmen lässt, 
24r2u 
V = ' 
4u2 — 3r2 
