MEMORIE - CLASSE U1 SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATUR., SERIE 11, VOL. LXVl, N. 4 . 
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di quello che noi non abbiam fatto, le proprietà delle soluzioni fondamentali per: y = r\ e 
deducendone quindi che gli integrali lineari citati sono derivabili sotto il segno J, almeno 
tre volte in 5 e almeno una o due volte in q secondo che si tratta della (a) o della (p). 
Potrà forse trattarsi la nostra questione per un campo C qualunque ancora cosi : 
Si circondi il punto (H, q) che si considera con un campo ( 7 i, fra quelli che conside- 
riamo nei §§ 4 , 5 , interamente contenuto neU’interno di C. Sia: €2 = 0 — C^. L’integrale 
esteso a (7 (q) 0 a C, moltiplicato per ^ o , potrà spezzarsi nella somma dei due inte- 
grali estesi a ( 7 i(q) e C'2(q) 0 a ( 7 i e C2, moltiplicati per ^ 0 Gli integrali estesi a Ci(q) 
0 a Ci, moltiplicati per ~ 0 “ sono soluzioni della (I) 0 della (li); tutto si riduce a mo- 
strare che gli integrali estesi a C2 (q) 0 a Gg sono soluzioni della (!') 0 della (IF). Per di- 
mostrare ciò occorre approfondire le singolarità delle soluzioni fondamentali per: y = r\. Il 
problema a cui si è ricondotti è però più semplice di quello da cui si è partiti, giacche, 
coll’artitìzio, si è evitato il punto (£, q) in cui le soluzioni fondamentali ànno la maggiore 
singolarità. 
§ 1 - 
Sulla “ 7 v’i (5 — a:, q — y) soluzione fondamentale per: ^3 
Si à: 
El{l—x,r\ — y) = {^—y)^f^{t) con f^{t) 
Jo 
dKcos{\^ — \t) , essendo: t = y 
(n — 2/)s 
li (1) è finita al finito ed à le derivate di qualunque ordine ; all' 00 negativo, come tutte le 
me derivate, è infinitesima di ordine infinito rispetto a -- come infinitesimo del 1 ° ordine; 
all’ co positivo è infinitesima di ordine non minore di mentre fr’(t) è infinita di ordine non 
maggiore di rispetto a t come infinito del 1 ° ordine (*). 
Si ha: 
*-Hoo 
A (0 dt = Tt (**). 
j— 00 
Proprietà della Ey e delle sue derivate. 
Dal fatto che al finito A (0 ® finita e continua insieme con tutte le sue derivate deriva 
immediatamente che: 
1 ) La Ei (E — X, q — y) e qualunque sua derivata risp>etto a S, x, q, y sono finite e con- 
tinue in ogni punto (E, x, q, y) con : q =t= y. 
(*) Block, Nota III, pag. 21-26. 
Nel presente lavoro dicendo che ‘ una funzione è infinitesima di ordine non minore di m , (0 “ infinita 
di ordine non maggiore di m ,) intendiamo che “ il suo rapporto alV potenza dell’infinitesimo [o infinito) 
principale resta (nelle vicinanze del punto in cui la funzione è infinitesima (o infinita)) minore, in valore 
assoluto, di una costante positiva 
(**) Block, Nota I, pag. 10-15. 
