MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATDR., SERIE II, VOL. LXVI, N. 4. 
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Dalle (a), (i) per le (c) e (d) rispettivamente, derivano le disuguaglianze : 
1 
' òE" I 
< 
d’'£!, I . 
ÒE» 
B,jB3 _* _ 
2n— r n+T 
n -2/1 1* 3 
2n— I , «+1 
(ri_y|-ìr+-y- 
per 
per 
E — a: 
Vn — 2/ 
E — a: 
>fi, 
di (—fi, il). 
2n— 1 2w— 1 
Chiamiamo B' la maggiore delle 2 costanti Bi * , B^Bi ed osservando che; 
^ ^ ^ ; dalle 2 ultime disuguaglianze ricaviamo : 
3) Variando (i, x, p, y) in un campo finito, si à: 
n=t=y , 
ÒE" 
ò"Ei 
òx" 
< 
B' 
2n+l ) 
In — 2/1 * 
essendo B' una costante. 
Teorema I°. 
Sia lr,_A un segmento della retta: y = n — h, h>0. Al tendere di h allo zero, tenda con 
continuità ad un segmento It, della retta: y = r|, contenente nel suo interno il punto (S, n)- 
Chiamiamo Xi (h — h), X 2 (l — h) ascisse degli estremi sinistro e destro di . 
Nel campo descritto da 1ti-a, mentre h varia da un certo valore diverso dallo zero allo zero, 
gli estremi inclusi, sia definita un funzione v|/ (x, y), che nel campo stesso possa riguardarsi 
come la somma di 2 funzioni iPi (x, y), ipa (x, y) finite, continue e monotone in x , qualunque 
sia y (*). 
In tali ipotesi vale la relazione : 
lim Ei (l — x,r\—y)\^ (x, g) dx = irip (E, n) , 
h=0 
J\-h 
essendo Ir^-h percorso dall’estremo di ascissa minima aU’eetremo di ascissa massima. 
Dimostrazione : 
Abbiamo : 
I=\Ei(l — x,r\ — y)\v(o>^, y) dx = 
»'^T | — h 
h~ì fi( — j ip (a;, n — h) dx . 
Poniamo in quest’ultimo integrale come nuova variabile d’integrazione : 
E — X 
t = 
I 
A5 
A trasformazione compiuta si ottiene : 
/• I 
( 1 ) 
/ = 
dt fi (^) vp (E — h^t, Y\ — h) 
JìzMnzN 
1 
4* 
(*) »p {x, y) è una funzione continua a variazione limitata rispetto alla x. 
