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ETTOKE DEI- VECCHIO — SUDI, E EqUAZIUNl : -^^3 
— + 9l (^, y) = 0, ECC. 
Notiamo che siccome esiste fi (t) dt e d’altronde, per il comportamento di fi {t) al 
finito ed all’oo negativo, certo esiste | fi (^) dt — con c costante — ne consegue l’esistenza 
di I fi{t)dt. Ed è chiaro che per il citato comportamento esista \fi(t)\dt. 
Perciò, indicando con e una quantità >0 e piccola a piacere, si avrà : 
(^) 
\fi{t)dt <e, 
,/a I 
1 fi (0 ! < e 
J—a 
quando a ed a' sieno ^ di certa costante aj^O; uno dei 2 limiti a, a o — a, — a può 
essere -|- oo o — oo. 
Si à: Xi (h)<[2<!X2 (n); possiamo allora prendere h<C.hi^ in modo che si abbia: 
( 3 ) 
2 — X 2 (n — h) 
l 
«1 ) 
A3 
Ciò posto teniamo presente la seguente limitazione, certo valida poiché per le proprietà 
delle /"i e ip tutti gli integrali del 2“ membro sono determinati e finiti : 
/ *4-00 
(4) 4 — vp (H, n) fi (0 dt\^\ dt\fi {<) I I ip (E — hit, n — A) | + 1 (5, n) | 
00 
l 
•-a, 
\fi {t)\dt -f- 
+ 
dt\fi (^) 1 1 ip (E — hit, n — h) — ip (E, n) 
-a, I 
+ 
r ' 
*3 
dt fi (<) vp (^ — hit, n — ^) -|- 1 vp (E, n) I i fi{t) dt I 
./«i 
Siccome per ipotesi è: ^P = iPi VP 2 » possiamo trasformare l’integrale del 4® termine 
a 2° membro nella somma dei 2 integrali che si ottengono ponendo in esso in luogo di »p. 
iPi o vpg. A ciascuno di questi possiamo applicare la 2® formula del valor medio, tenendo 
h costante, giacché alloi-a »Pi e vp 2 sono monotone in t nell’intervallo d’integrazione. Per il 
1° termine abbiamo : 
l 
(5) I dtfi{t) ipi (S — h'ìt,\\ — h) = ipi (E — hiìt,r\ — h) 
%~X H'n- 
A® 
fi (t) dt -hifJi [Xi (n — h), ri - h] 
fi (i) dt. 
Ja, 
g Y (n h) 
0 è una quantità compresa tra e La relazione vale qualunque sia h<^hi. 
A3 
Siccome ^ ~ ^ soddisfa alla 2^ delle (3) si à 0 > Oi , sicché per le (2) si ànno 
A3’ 
le disuguaglianze: 
( 6 ) 
r« , 
i 
C k 
fi {t) dt 
fi [i] dt 
! * 
e 
<e. 
Per l’ipotesi sulla »p (a?, ?/), in ogni punto del campo descritto da /r,-*, mentre h varia 
da hi a 0, vale la disuguaglianza : 
|4*i(^) ^1 con ki costante. 
