MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATDK., SERIE II, VOL. LXVI, N. 4. 
13 
Dimostrazione. 
Si segua la Dimostrazione del Teorema 1° del § 1 sino alle (3) con le ovvie modifica- 
zioni e scrivendo h, h' , invece di: a, a, Uj, giacché ora abbiamo enti diversi da quelli 
r +00 - , r+Qo 
del § 1 ; ponendo inoltre in luogo di 1^ dtf^^ (<) e di \dtf 20 (<) rispettivamente 1 dt\ (i) | , 
dt I Ao (0 1 • 
Ora il penultimo integrale scritto esiste certamente per il comportamento di f^o (i) al 
finito ed all’oo positivo. 
Di poi, data la natura della Ao (i), possiamo scrivere la limitazione corrispondente 
alla (4), modificata ponendo come 4° termine a 2° membro invece del “ valor assoluto del- 
l’integrale „ 1’“ integrale del valor assoluto dell’integrando „, e così pure per l’ultimo ter- 
mine. Si à: 
I (2 — X, n — y) {x, !/) dx~\v (s, n) \Uo (0 dt \ ^ | | / 20 (0 1 k n ± /i)l + 
y^n±k J— 00 
2 
Ifl 
r-h 
+ k(^,n)| 
rb. 
lAo + 
c/-0O 
dt\U, («)| k (2 - hh, ti ± - MI (s, n) I + 
- 6 , 
r ? 
+ 
f-i -00 
dt I Uo («) I I MI (H — hH, n ± /i) 1 + k (^. n) I 
Uo{t)\dt. 
J»I 
Ciò posto, del 2° membro il 4° ed il 5“ termine si esaminano rispettivamente come il 1° 
ed il 2“ termine del 2® membro della (4), gli altri termini come i termini omologhi del 
2° membro della (4). E si arriva così all’annunciata conclusione che : 
^+00 
lim i^20 (H — a:, n — «/) MI {x, y)dx = y]f (i, n) Ao (0 dt , 
r +00 
ossia, tenendo conto che: 
Ao (0 dt = n\ 
h > 0 , lim i^ 2 o (2 — x,r\ — y) mi ( x , y) dx = timi (^, n). 
h =0 I 7 
Teorema II®. 
Si à : 
1 dx 
-P 20 (^ — a;, n — y) di 
MI {x, y) = n 
[Jc J 
A C 
MI (H, n) di 
/t > 0 , lim 1 dx 
ft =0 
nell’ipotesi che : 
MI (x, y) sia finita e continua nel campo descritto la 1t)±a. 
Dimostrazione. 
La dimostrazione di questo teorema si riconduce facilmente alla dimostrazione del pre- 
cedente Teorema 1° allo stesso modo che nel § 1 abbiamo ricondotto la dimostrazione del 
Teorema 11° a quella del Teorema J®. 
I 
