MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATUR., SERIE II, VOL. LXVI, N. 4. 
15 
Vogliamo mostrare che le 2 funzioni nii anno le derivate V in ri ed inoltre si à. 
Ò4> 
òn 
òn 
r r r 
= F{^,x,x] — g) 4* Ffdx 
J J ' J 
C'(n) c(Ti) 
J J 
Oh) 
F (E, X, »i — y) dx dy -\- 
Ffdx 
eh) 
c (n) e c (n) vanno percorsi lasciando C alla sinistra. 
Dimostrazione. 
Daremo la dimostrazione per la vp, poi ricondurremo ad essa la dimostrazione per la ipj. 
Ci riferiremo nella dimostrazione ad un campo limitato inferiormente da un tratto della: 
y = a; la dimostrazione è la stessa 
nel caso in cui Sj ed «2 anno uno 
stesso punto di ordinata minima 
con l’unica differenza che nella 
determinazione di J Ffdx viene a 
C(T)) 
mancare un certo integrale. 
Notiamo inoltre che nella di- 
mostrazione noi seguiremo la figura 
disegnata ed avvertiamo che, se il 
campo à forma differente, la dimo- 
strazione, pur restando essenzial- 
mente la stessa, deve leggermente 
modificarsi in qualche particolare; 
come, facilmente si comprende. 
Consideriamo il rapporto in- 
crementale : 
R = 
F{i,x,r\i-b — y)f{x, y)dxdy — j | F (B, x, r] — y) f(x, y) dxdy 
^(•n-i-ò) C(iì) 
, per ò > 0. 
Nel primo integrale aggiungiamo b alla variabile d’integrazione, allora per l’integrale 
stesso il campo d’integrazione non è più C (q -j- b), bensì C (q) aumentato di quella parte Cò 
di piano, al di sotto della retta: «/ = q, compresa tra il contorno di (7(q) ed il contorno del 
campo che si ottiene da C(q-l-b) con la traslazione — b parallelamente all’asse^. Sicché: 
( 1 ) E = 
C(TÌ) 
Esaminiamo : 
F(E, x,x\ — y){f{x,y^ò) — f{x, y)] dx dy^\- 
F{1, x,r\ — y) f{x, y + b) dxdy. 
J .} 
H \ Fil,x,x\ — y)Yf{x,y^b) — f{x,y)\dxdy. 
C'(iv 
