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I5TT0UK DEL VECCHIO — SUU.E EQUAZIONI : -^^3 
il + <Pi ?/) = ECC. 
Nella (7) poniamo e soddisfacente alla: €<<ei- 
Per il 1® integrale a 2“ membro della (7) osserviamo che A, quale funzione di (y, b), 
è continua in un campo fi: a ^ y ^r\ — e, O^ò^bi. Che sia continua nei punti di questo 
campo per cui: b — 0, si vede dall’espressione (5) di A pensando alle ipotesi a), P), t)- Che 
sia continua nei punti del campo aventi la b^=0 si vede facilmente dall’espressione (5) di A 
in cui sia noato. inversainente a niiantn si è fatto nono fa,. ._ Xi i'!/ ~l~ b ) Xi M liu^jro di • 
continua in tali punti (con b =!= 0), moltiplica un integrale, che, come funzione di {y, b), è 
continuo nei punti stessi, giacche i limiti d’integrazione sono funzioni continue di {y, b) e 
l’integrando, quale funzione di (y,b,x), è continua nel campo: a^y^x] — e, 0<b<b^, 
Xi («/ 4 - ^) < ic < Xi (i/)- 
Ne viene che in fj la A, quale funzione di {y, b), è uniformemente continua. Quindi si à, 
per b convenientemente piccola, contemporaneamente per tutti i valori di y dell’ intervallo 
(a, n — e) : 
e quindi : 
I *Tì— e 
I A — Al ! dy < Y . 
Dalla (7) per le 1), 2) ricaviamo : 
per b convenientemente piccola, 
epperò, ricordando le espressioni di A e di Ai e la (4) : 
F (E, X, X] — y) f (x, y b) dxdy ^ [5, Xi {y), r\—y]f fXi (//), y] Xi' iu) dy 
' C' 
0 anche : 
(8i) 
F (E, x,x]—y)f {x, y -f Ò)dxdy — \F (E, x,^ — y)f {x, y) dx (*) 
. si('n) 
c 
ove «1 (ri) deve percorrersi lasciando C alla sinistra. 
(*) Nel ricavare questa formula abbiamo spezzato l’intervallo d’integrazione (a, u) nei due altri: (a, r| — e), 
(r| — €, U), scrivendo quindi la (7). Ciò è necessario nel nostro procedimento se la x, q — y) diventa infinita 
per; — se invece è finita e continua può farsi a meno dello spezzamento. Questo vale anche per gli altri 
Lemmi che dimostreremo. 
