òz I , K 
ETTORE DEL VECCHIO — SULLE EQUAZIONI : -j- qPi (.C, _?/) = 0, ECC. 
Le funzioni: 
ijj (E, n) = 
a-, r\,>j)f{x, y)dx(ìti 
Ò(iì) 
'Pi (^, n) = I I (^, X, n, y) f {x, y) dxdy 
C(y\) 
certo esistenti in f, sono in esso continue. 
Dimostrazione. 
Considereremo solo il caso della i|i (E, r|), il caso della ipi (E, u), che potrebbe trattarsi 
anch’esso direttamente con lo stesso procedimento, lo ricondurremo ad esso mediante un 
cambiamento di variabili. 
Per l’ipotesi a) : 
per \y — h | <C € abbiamo : 
\ F{l,x,n,y)\< , w<l. 
Dall’ipotesi P) deriva: 
\f{x, y)\<C R, qualunque sia {x, y) di C, 
essendo B una certa costante. 
Quindi, quando h e k sieno convenientemente piccole in valore assoluto, vale la disu- 
guaglianza ; 
( 1 ) 
F [E -j- h, X, X] k, y)f{x, y) dxdy — \F{E, x, n, y) f{x, y) dxdy 
I J J 
< 
<B 
F (E + h, ,T, r\-\-k,y) — F (E, x, n, y) \ dxdy + 
■ 4 - 
u J 
C(T)-0) 
H 
(n — 2/) 
„ dxdy -|- 
n + ■ 
-^dxdy 
0(ri+*)-C'(Ti-0) 
ove 0 0 un numero positivo maggiore di | A; | . 
Impiccolendo convenientemente la a e prendendo : | A- j < A-j , con A:, opportunamente 
piccola, i 2 ultimi termini della possono rendersi minori d’una quantità piccola a piacere. 
Fissata così la o, impiccolendo eventualmente la ki e prendendo: con /tj con- 
venientemente piccola, a cagione dell’uniforme continuità per la F (E, a-, q, y), derivante dalla 
ipotesi a), quando (a;, varia in C{r\ — cr), E-\-h in (E — q-|-^ i'' (h — h ^i)i 
l’integrando del 1° integrale sotto la potrà rendersi minore di una quantità piccola a 
piacere contemporaneamente per tutti i punti {x, y) del campo d’integrazione. Quindi per h 
e k convenientemente piccoli in valor assoluto potrà rendersi minore di una quantità piccola 
a piacere il 1° integrale della . Cosicché possiamo concludere che, essendo h' e k certi 
