MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATUK., SERIE li, VOL. LXVI, N. 4. 
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Le 1) e 3) delle “ Proprietà della Ej per » =r 1 ci dicono che : 
P) Qualunque sieno (2, rj) ed (x,y) di un campo finito, se è: r\=\= y, — ~ è 
finita e continua in (2, x, q, y) ed inoltre si à : 
Ò^l I 
ÒS I 
< 
B 
, essendo B una costante. 
In — tjì* 
Perciò la Ei e la qpi si trovano in C nelle condizioni rispettivamente della P(E,x,ri, y) 
e della f{x,y) del Lemma e quindi, applicandolo, otteniamo: 
ò 
Ei {I ~ x,r\— y) qpi {x, y) dxdy = 
C(Tl) 
J J 
C'(rt) 
7 7 
~'df 
Studiamo ora la derivata 2“ in E del nostro integrale. 
Per quanto abbiamo notato nel § 1 abbiamo che: 
In un campo C{r\ — e), e >> 0, tutte le derivate in x della E^ sono funzioni finite e 
continue di {x,y). Perciò, siccome cpi e sono in (7 finite e continue, data la natura del 
contorno di (7 (n — e), si può applicare a 
ò»£'i 
òP' 
alla X, ottenendo : 
j 
0(11— e) 
qpi dxdy l’integrazione per parti rispetto 
C(n-e) 
q>i dxdy = 
òE\ 
òx 
«Pi dy 
òEx 
òx 
J 
Si(il— e)-i-*2(ii— e) 
0(11— e) 
ò<Pi 
òx 
dxdy. 
Si (ri — e) ed (p — e) vanno percorse in modo da lasciare C alla sinistra. Nel porre la 
precedente uguaglianza abbiamo ricordato che: dy = {) su 1^ ed abbiamo convenuto che la 
direzione positiva, = w, della normale nei punti del contorno di C sia quella volta verso 
l’interno di C e che la direzione positiva della tangente, = t, sia tale che: tn = xy e quindi 
che, percorrendo il contorno in verso concorde a quello di t, il campo C sia lasciato a si- 
nistra. Siccome si à : 
òEi — x,V[ — y) 
òx 
ÒEi Ò^Et _ Ò^Et 
ÒE ’ òx^ 
se: x]=^y, 
dall’ultima relazione si ricava l’altra : 
Ò^Ei 
ÒE» 
J - 
(7(11 —e 
7 7 I ÒE\ 7 I Ò 
qpi dxdy = — \— (p^dy - 
J J J 
si(il-e)+«i(ii— £) 0(11-6) 
ÒE\ òcp 
òE ÒX 
- dxdy. 
V ip 
Per la proprietà P), precedentemente citata, relativa alla , certo esistono i limiti 
per € = 0 di ambo i termini a 2° membro, quindi esiste il limite del 1° membro e si à: 
ò^E^ j j òEt j I 
cpi dxdy = — cpi 4- 
J J 
0(11) 
S|(ll) l-Sj(ll) 
0(11) 
òE j ò<Pi 
r)E òx 
dxdy. 
( 2 ) 
