MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATDR., SERIE II, VOL. LXVI, N. 4. B1 
Deriviamo allora ambo i membri della ( 6 ) rispetto alla E, tenendo presenti le 1 ), 2 ), 
3 ), 4 ) ; si ottiene : 
_d_ 
òE 
^3 I 1 
-^,1 cpidxd^=^\ dx dif = — rrcpi [E, p) -f 
J J 
Ciri) 
C(T1) 
Ei qpi dr-f-J Ei q)j dx-\- 
»i{'n)+»2('n) 
J . 
C(ri) 
E,^dxdy 
Ttqpi (H, n) +J jE”, qpi dx + 
C(Tl) 
B, ^ dxdy (•). 
J J 
Oy'n) 
(’) Ci sembra interessante mostrare che ‘Pi dy, come per le derivate 1* e 2“ in E, così anche per 
C(v) 
la derivata 3®' in E è derivabile sotto il segno JJ. 
Approfitteremo dell’espressione ultimamente data della derivata 3“. 
Sappiamo che si ha : 
ÒE, ÒE, 
per r\=^y, 
de 
da cui ; 
"de 
<p, dx dy — — 
òr) dy ’ 
dEi 
J J 
C(Ti-e) 
dy 
<Pj dx dy. 
CCn— e) 
Il contorno di C(r\ — e), per ipotesi, è incontrato in un numero finito di punti dalle: a; = costante; inoltre 
in ogni punto (x, y) di C{r\ — e) sono finite e continue: Ex, (vedi quanto abbiamo detto nel § 1), qp,, , 
perciò è lecito integrare per parti rispetto alla y l’integrale a 2° membro. Sostituendo a questo l’espressione 
che ne risulta, si à : 
(«) 
d^E I I I 
— (Pidxdy — I Excpx dx -{- \ E^rgxdx -\- \ Ex qp, dx -j- 
ò£ I I I 
J J , 
ÒqPi 
Ex “T da; dy. 
dy 
«i(i1-e)-(-»2(Ti— £) C(r)-E) 
Siccome è continua in C e la Ex gode la proprietà a) esiste; 
lim I I Ex dxdy — 
£=0 I I dy 
0(11— e) 
Ex ^ dxdy. 
dy 
J . 
0(T)) 
Notiamo che la qpi(a:, y) soddisfa in C alla condizione che per la \p[x,y) abbiamo enunciata nell’Osser- 
vazione dei Teoremi I® e lE del § 1, ne consegue che nell’integrale I AJ, qp, da; può applicarsi il Teorema E, 
—e 
che cioè, tenendo presente che lr\—e va percorso dall’estremo di ascissa massima all’estremo di ascissa minima; 
Si à poi: 
lim I <p, da; = — nqpi (E, r|), 
E=0 I 
lim I Ex qp, da; = I Ex qp, dx. 
E=0 
*|(T)— e)+««(11-e) «i(ii)+«2(ii) 
