34 
d^z dz 
ETTORE DEE VECCHIO — SULLE EQUAZIONI : ^-^3- (*> ì/) = ECC. 
Siccome noi consideriamo un punto (H, u) interno a (7 i 2 integrali lineari a 2° membro 
delle (2), (2') sono derivabili in ti sotto il segno J per un noto teorema di Calcolo, poiché 
i limiti d’integrazione sono costanti e gli integrandi e le loro derivate in r| sono funzioni 
di (H, r|, x) finite e continue in ogni punto del campo che si ottiene per (5, u) che vari in 
un intorno, tutto interno a C, del punto (E, r|) fisso, che si considera e per x che vari tra 
le ascisse dei punti estremi di o Zj. Si à dunque: 
(3) 
•òn 
i ?2 (? — a;, ri — y) q >2 (aj, ij) dx = 
Ozl<2 ^ 7 
Ei <P 2 dx 
òEj 
dn 
CP 2 dx. 
Per la natura della e perchè, per ipotesi, è continua in C insieme con la sua 
derivata in y è lecito applicare ai 2 integrali superficiali dei 2‘ membri delle (2) e (2') il 
Lemma E, cosicché : 
(4) 
dn 
y) 
./ J 
CWt 
Ei{l — x,r\ — y) — dxdy = | | ^2 dxdy + 
^ dx. 
òy 
C(n) 
(4') 
* ^Ei^dxdy = 
dn 
E,^^dxdy + \E,^-^dx. 
C(T,) 
J 
^(■n) 
Per le (3) e le (4) e (4') possiamo dire che esistono le derivate 1® in r| dei primi membri 
delle (2) e (2'), ossia le derivate 2® in r| dei 2 termini a 2° membro della (1). Quindi esiste 
la derivata 2“ in n del 1® membro || £'2 (E — x, r] — y) cp 2 {oc, y) dxdy. Approfittando delle (2) 
c 
e (2') e poi delle (3) e delle (4) e (4') possiamo dare certe espressioni delle derivate 2® in r| 
dei 2 termini a 2° membro della (1), le quali sommate daranno un’espressione della deri- 
vata 2^ in TI del 1° membro : 
15) — 
dri^ 
£2 (^ — a;, n — y) q>2 {x, y) dxdy = 
£2 -P dx + 
^ dy ' 
òEì j 
-^f,dx 
E, ^ dxdy. 
J 
Consideriamo ora le derivate in E dei primi tre ordini del nostro integrale: 
£2 (E — a;, TI — y) cp 2 {x, y) dxdy. 
Nelle 1), 2), 3) delle “ Proprietà della E 2 , del § 2 abbiamo messo in evidenza che: 
a) £2 (S — X, X] — y) è finita e continua in (E, x, q, y) qualunque sieno E, x, q, y. E se 
ÒE I B 
è: qH=v, tale è anche ed inoltre: <C ' — r» essendo una costante. 
. . ' h-!/F 
Per ipotesi si à : 
h) cp 2 {x, y) è finita e continua qualunque sia {x, y) di C. 
