MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATUK., SERIE II, VOL. LXVI, N. 4. 
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Le a) e h) ci autorizzano ad applicare il Lemma IV° ai 2 integrali || qpg , 
C(ti) 
^^E^ffidxdy, i quali perciò sono derivabili in E sotto il segno JJ. Tale sarà quindi 
C(ri) 
£'2 q>2 dxdy : 
c 
( 6 ) 
_d_ 
òE 
E^il — x,r\ — i/)cp2 {x, y) dxdy 
J 
o 
qp2 dxdy. 
Perchè, oltre le a) e b), abbiamo che in un campo C(ti — e) 0 C(r| + e), e>0, 
^ ~ò£^’ ^ ~ (0 ® funzione di {x, y) finita e continua ^ 1) delle “ Proprietà 
d<P2 ' 
della E2 » j e, per ipotesi, è ovunque finita e continua, possiamo applicare ai due in- 
r r ò^E r r * * r r 0^^ 
tegrali \\-^^ ^2dxdy , \\-^ ^>ìdxdy il procedimento seguito nel § 4 per \\—^^>idxdy 
C(r\) 
C{r\) 
C(Tl) 
-^(^2 dxdy, \\-^^>2dxdy il procedimento applicato nel § 4 
0(11) C(Tl) 
a 11"^ <Pi dxdy. E quindi conchiudere che j| £^2 — ^^5, q — y) 92 (^, y) dxdy e || E2 92 dxdy 
0(11) 0(ti) ò'(ti) 
sono derivabili in E due volte sotto il segno || e si à: 
02 
ÒE2 
J J 
0 ( 11 ) 
£"2 (E — a:, n — y) <P2 y) dxdy = 
£2 T2 dxdy = 
^ 92 dxdy = — <?ìdy 
ÒE2 
0(ri) 
dE 
»i(ii)-l-Si('n) 
àE 
2 Ì^92 
dE òx 
dxdy. 
0 ( 11 ) 
dE' 
Ò^E^ 7 7 I j I 
92 dxdy = — ^ 92 -f 
j j 
0(T|) 
J J 
0(T1) 
òEi dqp; 
ÒE da; 
dxdy. 
«l(ll) + S»(ll) 
J J 
0 ( 11 ) 
Abbiamo indicato con Si ed $2 i 2 lati di C paralleli all’asse y. 
Sommando membro le eguaglianze precedenti si à: 
(7) 
ÒE' 
E2{l — x,y\—y)(^2(.x^y)dxdy — 
ò^E^ 7 7 ^-^2 j I 
-^(P2dxdy = — -^q>2«^ + 
*I+®2 
Studiamo la derivata 
Per q =1= 2/ si à : 
d' 
dE' 
£2 T2 dx dy. 
V 
( 8 ) 
ò^Ei _ ò^Ei 
dE' “ dq' 
£2 e tutte le sue derivate, per q=t=i/, sono finite e continue, quindi dall’equazione (8) 
ricaviamo : 
(9) 
n =1=^, 
d'£)2 d 
dE' dq 
Jc 
ÒE2 
dq 
di -j- Pi {x, q, y) ove c è una costante. 
