MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATDR., SERIE II, VOL. LEVI, N. 4. 
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Consideriamo il 4° integrale a 2° membro della (14): 
i: 
U.dE 
òy 
dx\ le stesse con- 
'ti -e 
siderazioni varranno per il 4° integrale a 2^ membro della (14'): 
P il 
òs 
dx. 
j 
Chiamiamo b' le ascisse dei punti di Si e $2 (del contorno di C); si à: 
(15) 
^^E 2 {l — x,r\—y) di ^ {x, y) dx = 
^ E 2 [l — X, e) di {x, ri — e) dx. 
^-e 
Notiamo che: 
Oi) La £"2 (2 — X, X] — y) è finita e continua in (E, x, r|, y), qualunque sieno l, x, q, y. 
Tale sarà anche p £2 (^ — h — y) di. 
Quindi, siccome è finita e continua in ogni punto {x, y) di C, l’integrando dell’in- 
tegrale a 2° membro della (15), quale funzione di (x, e), è finita e continua quando x varia 
in (a', b') e e varia dallo 0 ad un valore maggiore di 0. Perciò il limite per e = 0 dell’in- 
tegrale è eguale all’integrale dell’integrando in cui sia posto; e — 0, ossia: 
3) 
lim 
e=0 
£2 (^ — a:, q — ?/) di 
^ (x, y) dx = 
E. di 
dx. 
e 
Analogamente : 
3) 
lim 
e=0 
E^dl 
àj 
dx = 
E, di 
^>j 
dx. 
e 
Ir^ va percorso dall’estremo di ascissa massima a quello di ascissa minima. 
\ j 
Per la a^) ed essendo inoltre finita e continua in C si à : 
4) 
lim 
E=0 
J 
f^E,dl\^dxdy= [f^E^dl\^ixdy, 
0(m— E) 
j J 
C'(T)) 
lim 
e=0 
j: 
E, di 
dxdy = 
0 ( 11 +e) 
J J 
0(11) 
J: 
£0 di 
Siccome il 1° ed il 3° termine del 2“ membro della (14) ed i termini omologhi della (14') 
sono indipendenti dalla e, per le 1), 2), 3), 4) possiamo dire che esistono i limiti per e = 0 
di tutti i tei-mini della (14) e della (14') eccettuati: 9 \{x,x\,y) <^ 2 dxdy, Pi(x,q,^) (^.idxdy. 
0(1H-E) 
