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ETTORE DEO VECCHIO — SULLE EQUAZIONI : ^ + <Pi (^, ?/) = ECC. 
Ne viene che esistono i limiti di questi integrali ancora, cosicché prendendo il limite per e = 0 
di ambo i membri delle (14) e (14') e sommando quindi membro a membro si ottiene: 
(16) op 2 dxdy = — 2tt (p^ (£, p) di + 
òri 
di 
qpa dx -f- 
jf òp 
di 
^•ìdx,-[- 
di 
ò^a 
òy 
dx 4- 
^ Ki di 
òq>2 
dx 
Eo di 
Òi/* 
dxdy -f- 
Pi(aJ,n,«/) (pìdxdy. 
; 
i. 
Mostriamo che di ciascun termine del 2° membro esiste la derivata in l. 
Poiché q>2 (H, n) è finita e continua in C, si à : 
li) 
ò (ì 
ÒE 
<P 2 (^, n) di = «Pa (H, n). 
Teniamo presente che consideriamo un punto (E, p) interno a C. Allora quando (E, p) 
varia in un intorno, tutto interno a C, del punto (E, p) fisso e (x,y) su la la F2o{l — x, p — y), 
quale funzione di (E, x), è finita e continua. Tale sarà anche F^o di. Ne viene che sax'anno 
tali l’integrando F^odl q>2 del 2° termine a 2" membro della (16) e la sua derivata 
in E: F^q qp2- Perciò, per un noto teorema di Calcolo, è lecito derivare il termine sotto il segno J: 
2i) 
e per la stessa ragione : 
2i) 
ÒE 
F20 di 
ò 
ÒE 
di 
(p.2dx = \ F20 q>2 dx; 
(ft^dx =\ F20 qp2 dx. 
X. 
Per lo stesso teorema si à ancora : 
3 i) 
ÒE 
E. di 
dx ■= I J&2 dx ; 
òy 
1 
P E\ di 
òqji 
òy 
dx = \E2^ dx. 
£'2 (E — X, T] — y), e quindi ^^E2dl, é una funzione di (E, x, p, y) ovunque finita e continua; 
\2 
siccome inoltre é una funzione di {x, y) finita e continua in C, certo si à : 
4i) 
ÒE 
ff 
P £2 di 
,1 
.J C 
0/ 
dxdy 
E, dxdy. 
J J 
c 
L’ultimo termine della (16) è indipendente dalla E, perciò: 
5 i) 
ò 
ÒE 
Pi n, y) <P 2 {x, y) dxdy = 0 . 
