2 GUSTAVO SANNIA — I MMITI DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO LIMITE DEL SUO CAMPO 
In secondo luogo vogliamo riprendere il concetto di insieme limite, concetto che oggi ò 
quasi del tutto abbandonato. 
Infatti attualmente per studiare il comportamento di una funzione (p. es. di una varia- 
bile) f(pc) neH’intoi no di un punto a di G' , si considerano i limiti di indeterminazione (rispet- 
tivamente inferiore e superiore) di f {x) in a (*), che noi indicheremo coi simboli 
(1) ,lim/’(a;), 'lim/’Ca;), 
x=a x=a 
e spesso, per semplicità, con ^1 e 'I (**). Quando sono uguali coincidono con Tordinario lini /‘(a;). 
x=a 
,l è, per definizione (***), il limite per /i — 0 del limite inferiore di f{x) nell’intorno 
(a — /t, n 4- h) di a. La definizione di 7 è analoga (****)• 
3. — Però il nome “ limiti di indeterminazione „ dato ai numeri ,l e 7 ed alcuni dei 
simboli usati per rappresentarli non sono certamente ispirati da questa definizione, ma da 
un’altra più antica. Precisamente i simboli (ò) mostrano che essi dovettero presentarsi ante- 
riormente come il minimo e il massimo di tutto un insieme di numeri, ciascuno dei quali fu 
considerato come un limite di f {x) in a. 
Ed in effetti fu così che si presentò la prima volta il numero ,l in un teorema di 
Abel {(Euvres, t. II, p. 99) ed il numero 7 in un teorema di Cauchy {(F/uvres, 2® serie, t. II, 
p. 12 1) sulle serie. Cauchy considerò pure l’insieme di tutti i limiti della funzione sen ~ ' 
nel punto x = 0. 
(*) Così detti da P. du Bois-Reymond (f'unetionentheorie, 1882, § 68). 
(**) Questi sono analoghi ai simboli 
(a) l,fa , V fa 
di G. Peano {Formulario Mathematico, ed. V, Torino, 1905, pp. 213 e 374). Abbiamo preferito di porre gli 
apici a sinistra, in alto e in basso, riservando la destra agli ordinarii apici o indici, che introdurremo quando 
dovremo considerare altri enti analoghi. 
Altri simboli in uso sono 
(5) min Lm fa e max Lm fa 
del Peano, 
(c). lim inf f{x) e liin sup f{x) 
x=a x=a 
del Pasch (“ Math. Ann. „, B. 30, 1887, p. 134), ed infine 
lim f(x) e lim f{x) 
x=a x=a 
di A. Pringsheim (“ Sitzsb. Akad. Miinchen ,, B. 28, 1898, p. 62). 
Questi ultimi sono oggi i più usati, però presentano qualche inconveniente nella composizione tipogra- 
fica: è solo per ciò che non li abbiamo adottati e li abbiamo sostituiti con i simboli (1). 
(***) Di U. Bini, Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali, Pisa, 1878, p. 182. 
(****) Fra le proprietà note dei numeri e 'I rileviamo le seguenti : 
I. Se ^1 (,1) è finito, dato un numero 6 ì> 0, in ogni intorno di a esiste un punto (almeno) x di G, distinto 
da a, tale che risulti 
(2) 'l-e<f(xX'l + i -€</■(«:)< -he]. 
Se 9=:-hoo(,l = — oo), dato un numero N >• 0, in ogni intorno di a esiste un punto (almeno) x di G, 
distinto da a, tale che risulti 
(2)' f{x) > N (f{x) < - N). 
II. Se ,1 e '1 sono finiti, dato un numero e > 0, esiste un intorno di a tale che per ogni punto x di esso 
e di G, distinto da a, risulti 
)-^<f{xX'l-\-^. 
