MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATUR., SERIE II, VOL. LXVI, N. 5 . 
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Secondo P. du Bois-Reymond (*), un numero X è un limite di f{x) nel punto x = a, se 
è il limite (ordinario) di f{x) considerata solo nei punti di una successione Z contenuta in G 
e tendente ad a. Si dimostra facilmente che l’insieme A dei numeri X è chiuso; perciò esso 
ammette un minimo e un massimo, i quali (si dimostra) coincidono con i numeri ,l e 7 
dianzi definiti (**). 
4. — Il considerare tutti i limiti di f{x) in a, anzicchè i soli e 7, ci sembra molto 
utile: sia perchè in tal modo si approfondisce maggiormente la conoscenza del comporta- 
mento della funzione intorno ad a, sia perchè i numeri e 'I e le loro proprietà sono così 
più facilmente intuiti, sia infine perchè anche oggi si sogliono considerare alcuni dei limiti 
distinti da / e 7 {***). 
Ma, per il nostro punto di vista, noi non possiamo conservare l’insieme A, poiché l’esi- 
stenza di A dipende dal postulato di Zermelo.y Infatti tale esistenza dipende da quella di 
almeno una successione Z di punti di G tendente ad a ; ora, se nel caso di gruppi parti- 
colari questa esistenza si dimostra senz’altro (cfr. il n° 7), per poterla dimostrare nel caso 
di un gruppo generico è necessario ammettere il detto postulato. 
Noi perciò sostituiremo a A un altro insieme, considerato per la prima volta dal Peano (+). 
La sua esistenza non dipende dal postulato e, come proveremo, i suoi valori hanno i requisiti 
per essere chiamati “ limiti di f{x) in a Di esso faremo uso sistematico, anche in quei 
casi nei quali non si era finora considerato l’insieme A: p. es., nel § 6, definiremo, per la 
prima volta, gli insiemi limiti iterati delle funzioni di più variabili. 
§ 1 . 
Insieme limite. 
V 
5. — Diremo, col Peano, che un numero (finito) l è un limite di f{x) nel punto a (al 
finito 0 non) di G' se, dato un numero e > 0, in ogni intorno di a esiste un punto (almeno) x 
di G, distinto da a, tale che sia 
(3) l — €<f{x)<l-\-€. 
Diremo poi che -f- oo ( — oo) è un limite di f (x) nel punto a se, dato un numero N>0, 
in ogni intorno di a esiste un punto (almeno) x di G, distinto da a, tale che sia 
(3)' f{x)>N, [f{x)<-N]. 
Diremo infine insieme limite di f {x) nel punto a, ed indicheremo con Lm ( ' '), l’insieme 
formato da siffatti limiti, finiti o non. 
(*) Loc. cit., p. 175; “ Abhand. Akad. Munchen ,, B. 12, 1875, Abt. 1, p. 124; “ Math. Ann. ,, B. 16, 1880, p. 120. 
(**) Il DU Bois-Reymond chiamò f(a), quando esiste, valore diretto di f{x) in a, e chiamò valori indiretti 
di f(x) in a tutti i numeri di A. Con l’aggiunta dei valori indiretti, f{x) diventa indeterminata (intendi : a 
più valori) nel punto a, ed i numeri ,1 e 'I sono i limiti della sua indeterminazione. È questa l’origine del 
nome dato a questi numeri. 
(***) Tali sono i limiti di indetei-minazione a sinistra di a e quelli a destra di a (n“ 11). 
(D “ Rivista di Matematica 1892, p. 77; “ The American Journal of Math. ,, 1894, p. 38. Cfr. anche una 
Memoria di R. Bettazzi nei “ Rend. del Circolo Mat. di Palermo „, t. VI, 1892, p. 173. 
(■'■■'■) Occorrendo, si può adoperare la notazione più completa Lm {f, G, a) del Peano [Formulario Matem., 
p. 231), che pone in evidenza il simbolo funzionale f, il gruppo G ove f è definita e il punto a di G'. ' 
