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GUSTAVO SANNIA 
I LIMITI DI UNA FUNZIONE IN UN PONTO LIMITE DEL SUO CAMPO 
L’insieme limite Lm esiste. Poiché contiene i numeri / e 7, come risulta dalla proprietà I 
ricordata in una nota al n“ 2. 
L’insieme limite Lm è chiuso ed ha per estremi (inferiore e superiore) i numeri ^1 e '1. 
(Cfr. Bettazzi, loc. cit.). 
6. — Contro l’assunzione dei numeri di Lm come limiti di f{x) in a si può obiettare 
che essi non rientrano nell’ordinario concetto di limite. Infatti (usando un linguaggio im- 
proprio, ma espressivo) si può dire che un numero l è un limite di f {x) in a nel senso di 
Peano se è tale che, avvicinandosi x ad a, 
(4) \f{x)-l\ 
finisce per diventare minore di qualunque numero e > 0 prefissato; mentre che l è limite 
di f {x) nel senso ordinario, se (4) finisce per diventare e restare minore di e. Ed è perciò 
che il Peano ha adottato il simbolo Lm, e non “ lim ,, per i suoi limiti, e che il Bettazzi 
(loc. cit.) ha preferito chiamarli confini di f{x) in a. 
Ma noi ora dimostreremo che i limiti di Peano godono di una proprietà caratteristica 
(e che perciò può essere assunta come altra definizione dei numeri stessi) in seguito alla 
quale meritano di essere considerati come limiti di f{x), almeno quanto i numeri dell’in- 
sieme A. Un numero X di A si è chiamato (n° 3) un limite di f{x) in a, in quanto che esso 
è il limite ordinario di f{x) considerata solo nei punti di un particolare sottogruppo, e pre- 
cisamente una successione, di G, avente come punto limite a. Ora, togliendo la restrizione 
che questo sottogruppo debba essere una successione, si ottengono i limiti del Peano. Si ha 
cioè il teorema : 
Ogni numero dell'insieme limite Lm di f (x) nel punto a, e nessun altro numero, gode della 
proprietà di essere il limite ordinario nel punto a della funzione f(x) considerata solo nei punti 
di un conveniente sottogruppo S di G avente a come punto limite. 
Anzitutto è chiaro che ogni numero che gode della proprietà enunciata appartiene a Lm ; 
poiché esso è il limite ordinario di f{x) considerata in S, quindi è anche un limite di Peano 
di f{x) considerata in S, e quindi anche in G. 
Dico che, viceversa, ogni numero l di Lm gode di detta proprietà. 
Supponiamo anzitutto che l sia finito e fissiamo ad arbitrio una successione di numeri 
positivi, decrescenti, tendenti a zero : 
(5) €1,62,63,... (6„ > 6„+i , lim 6„ = 0). 
n=oo 
Essendo a un punto limite di G, in ogni suo intorno cadrà qualche punto di (?; e ciò 
si verificherà pure necessariamente 0 in ogni intorno sinistro o in ogni intorno destro. Sup- 
ponendo che si verifichi in ogni intorno destro, consideriamo le due successioni di intervalli 
(6) ii = (a, a+l), »2 = (a, a + Ì3=(a, a + y), ..., 
(7) Ji = ^ + 1) . Ì2 = [« + y 1 « y) ) is = ^ + y) ) • • • » 
in ciascuna delle quali le ampiezze degli intervalli tendono a zero e gli estremi tendono 
ad a. Si ha inoltre : 
(8) 
in jn +in+l jn+2 + • • • 
