MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATDK., SERIE II, VOL. LXVI, N. 5. 
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Per definizione del numero l (n® 5), esiste in ii un punto almeno Xi di G, diverso da a, 
tale che risulti 
(9)i ^ — «1 < /"(aJi) < ^ + ei. 
il è, per la (8), somma di Ji, jg, ... : sia jV, (^i ^ 1) il primo di questi intervalli contenente 
qualche punto ed in esso prendiamo tutti questi punti ; otterremo così un sottogruppo 
di G in tutti i punti Xi del quale varrà la (9)i. 
Analogamente, esiste in «V,+i un punto almeno X 2 di G, diverso da a, tale che risulti 
(9) 2 Z — €2 < /•(xg) < Ì + 62. 
irj+\ è somma di jV,+i , >,+ 2 , ... : sia jV, ( 1^2 > + 1) il prinno di questi intervalli contenente 
qualche punto a ?2 ed in esso prendiamo tutti questi punti; otterremo un sottogruppo G 2 di G 
in tutti i punti del quale varrà la ( 9 ) 2 . 
Così proseguendo, otterremo, applicando successive leggi di scelta ben determinate, una 
successione G^, G 2 , ... di gruppi di punti (sottogruppi di G) i quali sono distinti e sono 
contenuti rispettivamente negli intervalli _;V, , ..., le cui ampiezze tendono a zero ed i 
cui estremi tendono ad a. Ne segue che la loro somma 
( 10 ) S=G,-{-G2 + ... 
è un sottogruppo di G che ammette g come punto limite. 
Tutti i punti X di Gn soddisfanno la limitazione 
(9)„ Z — e„ < /■ (a;) < Z -}- e„ , 
la quale sarà soddisfatta pure dai punti di tutti i gruppi seguenti Gn+x{k= 1, 2, ...): questi 
infatti soddisfanno la 
I — I €n-f fe > 
e, poiché €n+h < e„, da questa segue la (9),^. 
Ne deduciamo che la (9)„ è soddisfatta da tutti i punti x del gruppo 
Sn = tr» -|- Gn+i -j- Gn+2 “H • • • 
il quale, si noti, contiene tutti i punti del gruppo S che giacciono in un intorno destro di a 
(e precisamente in ir„+\). 
Ora, poiché lim €n = 0, dato un numero e > 0, sarà, da un certo n in poi, En^e; 
n=co 
allora i punti di Sn, soddisfacendo alla (9)„, soddisfaranno anche alla 
Z — e < /■ (a;) < Z + ^ ; 
ciò prova che f (x), considerata nel gruppo S, ammette Z come limite ordinario nel punto a. 
Con leggere modifiche si tratta il caso in cui Z non é finito. Se p. es. é 1 = co , 
allora, prefissata, in luogo della (5), una successione di numeri positivi, crescenti e ten- 
denti a 4" si ripeterà il ragionamento precedente, adoperando, in luogo della (3), la 
prima delle (3)'. 
