(ì liDSTAVO SANNIA — 1 LIMITI DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO LIMITE DEL SUO CAMPO 
7. — Osserviamo che il nuovo insieme limite Lm non è che l’antico A ampliato, ossia: 
l’insieme Lm contiene ì’insieme A [quando questo esiste). Poiché per formare Lm dobbiamo con- 
siderare tutti i sottogruppi di G aventi a come punto limite c quindi anche lo successioni 
(se esistono) tendenti ad a, le quali conducono appunto ai numeri di A. 
Ciò accade se G è un gruppo chiuso, perchè allora A esiste. Infatti, se in ciascuno di 
quelli fra gli intervalli (7) che contengono punti di G prendiamo il primo punto di G (dalla 
destra) in esso contenuto (primo punto che esiste, poiché G è chiuso), otteniamo una suc- 
cessione di punti di G tendente ad a. I valori corrispondenti di f [x) formeranno una suc- 
cessione che 0 tende ad un limite determinato o (come è noto) ne contiene infinite altre 
tendenti a limiti determinati, e questi limiti appartengono a A, il quale dunque esiste. 
Se poi G è una successione, Lm e A coincidono, evidentemente. 
Infine : Lm e A coincidono qualunque sia G, se si atnmette il postulalo di Zermelo. Basta 
dimostrare che A esiste e contiene Lm. Infatti sia l un numero di Lm ed S quel sottogruppo 
di G ove f[x) ha per limite ordinario l, e che abbiamo costruito nella dimostrazione del n° 6. 
S è la somma degli infiniti sottogruppi Gi, G^, ... di G: prendendo in ciascuno di questi 
un punto ad arbitrio (il che è lecito, in virtù del postulato), si ottiene una successione di 
punti di G tendente ad a, nella quale f[x) ha per limite ordinario l; dunque l appartiene a A. 
§ 2 . 
Sui gruppi derivati di un gruppo di punti (*). 
8. — Sia G un gruppo lineare di punti e G' il suo primo derivato. Ogni punto a di G' 
è tale che in ogni suo intorno cadono punti di G diversi da a. Se a è al finito, potremo 
distinguere gli intorni sinistri [a — d, a) dagli intorni destri (a, a c?) di a, ed allora accadrà 
che 0 in ogni intorno sinistro o in ogni intorno destro cadranno punti di G distinti da a: 
diremo che a è punto limite di G per la (regione) sinistra nel primo caso e per la (regione) 
destra nel secondo. Naturalmente a può esser punto limite per la sinistra e per la destra. 
Se poi a non è finito, diremo che è punto limite di G per la sinistra o per la destra, se- 
condo che è (* = -[-00 o a = — oo. 
Diremo primo derivato di G per la sinistra (destra), ed indicheremo con G) (con Gd) 
l’insieme dei punti limiti di G per la sinistra (destra). 
Si ha : 
( 11 ) G=G/ + Gd. 
Si vede facilmente che le nuove operazioni di derivazione sono distributive rispetto alla 
somma. Non lo sono rispetto al prodotto. Si può solo asserire che: il primo derivato per la 
sinistra (destra) del prodotto di due gruppi è contenuto nel prodotto dei derivati per la sinistra 
(destra) dei due gruppi. 
Operando analogamente su G' , si deducono i gruppi 
[G'): = g:\ [g): ^ g:\ 
che diremo secondo derivato per la sinistra e secondo derivato per la destra di G. E cosi via. 
(*) Per l’intelligenza del seguito è sufficiente conoscere quei soli risultati di questo § che riguardano il 
primo derivato. 
