MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATUR., SERIE II, VOL. LXVI, N. 5. 
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Si hanno in tal modo tre successioni di gruppi : 
(12) (r', G", ... ; Gs\ Gs", ... ; G^, G,,", . . . , 
tali che : in ciascnna, ogni gruppo è contenuto nel precedente, e ciascun gruppo della prima è 
somma dei gruppi corrispondenti delle altre due. 
Tutte queste proprietà si dimostrano facilmente (*). 
9. — Or noi vogliamo considerare altri gruppi e dimostrare alcune loro proprietà che 
ci saranno utili in seguito. 
Il gruppo G' può decomporsi, oltre che nel modo espresso dalla (12), in altro modo : 
1° nel gruppo 6r/ Gì (prodotto di (7/ e Gì) formato da quei punti di G' che sono punti 
limiti di G per la sinistra e per la destra, e che diremo primo derivato ristretto di G-, 
2“ nel gruppo G' — GJ Gì, complementare del primo, formato da quei punti di G' che sono 
punti limiti di G solo per la sinistra o solo per la destra. Analogamente si possono scom- 
porre G", G'", . . . 
Otterremo cosi una successione di gruppi derivati ristretti di G (rispettivamente: 
secondo, . . .) 
(13) Gì Gì , Gì' Gì' , . . . 
e la successione dei loro complementari nei corrispondenti gruppi derivati ordinarli 
(14) G' — Gì Gì, G" — Gì' Gì', ... 
Nella (13) ciascun grup>po è contenuto nel precedente. Ciò segue dalla analoga proprietà 
dei gruppi (12). 
IO. — Ciascun gruppo (14) è numerabile. 
Basta dimostrarlo pel primo gruppo. Esso è la somma dei gruppi G' — Gì, G' — Gì, 
costituiti da quei punti di G' che sono punti limiti di G per la destra soltanto o per la 
sinistra soltanto, rispettivamente. Or questi sono numerabili. Per es., ogni punto del primo 
gruppo è tale che è possibile costruire alla sua sinistra degli intorni privi di punti di G : 
sia I l’intorno limite superiore di questi intorni. Poiché gli intorni I (relativi ai vari punti 
del gruppo) evidentemente non si sovrappongono, sono numerabili ; perciò sono numerabili 
anche i punti del gruppo. 
(*) Cfr. C. Burali-Forti, “ Atti della R. Accad. delle Scienze di Torino ,, voi. 29, 1893-4, p. 382. L’A. 
chiana^ primo derivato a destra (a sinistra) di G quel gruppo che noi abbiamo chiamato primo derivato per 
la sinistra (per la destra). Abbiamo preferita la seconda denominazione perchè si lascia estendere al caso 
dei gruppi di punti non lineari (n“ 13). Del resto le due denominazioni non sono contraddittorie. La prima 
rileva che un punto di G,' (per esempio) è a destra di quei punti di G in virtù dei quali esso è punto 
limite, la seconda rileva lo stesso fatto esprimendo che un punto di G( è punto limite per quei punti di G 
che sono alla sua sinistra. 
Notiamo pure che TA. adopera per i gruppi (12) i simboli 
DG, DDG, ; D'G, D'D'G, ; D^G, DìD^G, 
Nel Formulario, tomo V (pp. 139-142), del Peano, il simbolo operativo D è sostituito con b, trattandosi 
di numeri finiti, e con V ove si considerino gli infiniti. 
