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GUSTAVO SANNIA 
1 LIMITI DI DNA FUNZIONE IN UN PUNTO LIMITE DEL SUO CAMPO 
Corollari (*). — I. Se uno dei gruppi derivati ristretti è numerabile, tali sono 
anche G*"*, G*"“‘\ , G' e G medesimo. 
Poiché essendo numerabili Gl”* Gl"*, per ipotesi, e G<"* — G*"* Gl”*, pel teorema precedente, 
sarà pure numerabile G‘"*, loro somma. Ed allora, come è noto, sono anche numerabili 
G‘"-‘*, ..., G', G. 
II. Se nessun punto di G appartiene a G,' (o a G<j') G è numerabile. 
Poiché G può scomporsi nel gruppo dei suoi punti isolati, che é numerabile, e nel gruppo 
dei punti rimanenti, il quale, per l’ipotesi fatta, é contenuto in G' — G,' che é numerabile 
(Ofr. la dimostrazione del teorema precedente). 
§ 3. 
Insiemi limiti parziali. 
11. — Sia f{x) definita in G e sia a un punto di G', quindi o di G/ o di G/ (o di 
entrambi). 
Se a appartiene a G/, in ogni suo intorno sinistro cadranno punti di G distinti da «; 
potremo dunque ripetere tutto ciò che abbiamo detto ne\Y Introdtizione e nel § 1, conside- 
rando però, in luogo degli intorni (a — A, a + h) di a, gli intorni sinistri [a — h, o). 
Definiremo cosi i limiti di indeterminazione di f(x) a sinistra di a 
= ^lim /■(»;) , 'l,= ’Wm. f {x) 
x=a — 0 x=a— 0 
e poi l’insieme limite Lm^ di f (x) a sinistra di a, che sarà chiuso ed avrà per estremi 
,1, e 7, (n» 5). 
Se a appartiene a Gì, definiremo gli enti analoghi a destra di a: 
,li = ^lirn f{x), 'là — 'lini f {x) , Lm^. 
x=(H-0 x=a+0 
Se a appartiene solo a Gì (a Gì), esisteranno solo i primi (i secondi) enti e coincide- 
ranno con gli enti analoghi ,1, 'l, Lm del § 1. Che se poi a appartiene a Gì e a Gì, ossia 
appartiene al primo derivato ristretto Gì Gì di G, esisteranno tanto i primi enti, quanto 
i secondi, e potranno essere distinti tra loro (**) e da ,1, 'l, Lm ; inoltre in tal caso / (7) 
sarà uguale al minore (maggiore) dei due numeri ,1,, ,là (7^, 7,,) e sarà Lm = Lm, -|- Lm^ . 
{Formulario, ediz. 5^, pag. 231, prop. 6). 
§ 4 . 
Estensione alle funzioni di due variabili. 
12. — Quanto abbiamo detto neW Introduzione e nel § 1 si può ripetere per una fun- 
zione reale f (x) = f {x^ , x^) di due variabili reali, definita in un gruppo G di punti x(xi,X 2 ), 
del quale a {a^ , a^) sia un punto limite. 
(*) Sono estensioni di noti teoremi di Cantor. Cfr. Formul., p. 141, *5. 
(**) Si è tentati di dire che r.iò accadrà in generale, ossia in un punto generico di G,' Gd’ per una fun- 
zione generica; poiché i valori che f{x) assume a sinistra di a sono affatto indipendenti da quelli che assume 
a destra. Vedremo che ciò non sussiste (n“ 18). 
