MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATDR., SERIE II, VOL. LXVI, N. 5. 9 
Considerando i valori che f{x) assume in intorni (p. es. circolari) di a, si definiranno 
i limiti di indeterminazione di f{x) in a 
(15) ,l = ^lim f{x) = ^lini f(xi, X 2 ), 'I = 'lim f{x) = 'lim f(»i, X 2 ) 
x=fi «*=«2 x=a x^—a^ 
e poi Vinsieme limite Lm di f{x) in a, che sarà chiuso ed avrà per estremi ^l e 'l. Ciascun 
numero l di Lm è il limite ordinario di f{x) considerata solo nei punti di un conveniente 
sottogruppo di G avente a come punto limite: lo diremo im limite (doppio) di f{x) in a. 
Quando questi limiti sono uguali (cioè quando è / = 'l), essi si riducono all’ordinai’io limite 
(doppio) di f{x) in a 
(16) lim/’(a:)= lim f{xi,x<^-, 
X=a Xi=ai , «2=^2 
ciò può esprimersi dicendo che esiste il limite di f{x) in a. 
13. — Le considerazioni del § 2 si estendono ad un gruppo di punti G di un piano. 
Passando dalla retta al piano, il concetto immediatamente analogo a quello di destra e si- 
nistra di un punto, si ha considerando in ciascun punto del piano le quattro regioni deter- 
minate dalle due rette passanti pel punto e parallele agli assi coordinati. 
Più generalmente, dividiamo l’intorno di un punto a («i , « 2 ) del piano in un certo nu- 
mero finito di regioni, una generica delle quali indicheremo con r, mediante altrettante 
linee aventi a comune il solo punto a (*). In ogni altro punto del piano consideriamo le 
linee e le regioni che si deducono da quelle fissate in a con una traslazione del piano. 
Diremo che un punto a {ai,a 2 ) è punto limite di G per la regione r, se in ogni intorno 
di a cadono punti di G, distinti da a, e giacenti nella corrispondente regione r. Diremo 
primo derivato di G per la regione r, ed indicheremo con G) il gruppo formato da tali punti. 
L’ordinario primo derivato G' è la somma dei varii gruppi G) 
G' == 2 GJ, 
poiché ogni punto di G' è punto limite di G per una almeno delle regioni in cui è stato 
diviso il suo intorno. 
I punti comuni ai gruppi G) formano un gruppo TT G) (prodotto di questi gruppi), che 
chiameremo primo derivato ristretto di G. I suoi punti sono punti limiti di G per tutte le 
regioni r; invece quelli del suo complementare G' — TIG) in G' sono punti limiti di G 
per una almeno delle regioni r, ma non per tutte. 
E COSI via. Si hanno in tal modo le successioni di gruppi 
(17) 
G', G", ... ; 
Gr\ Gr 
D Gr , n Gr 
in ciascuna delle quali ogni gruppo è contenuto nel precedente, come nelle analoghe succes- 
sioni (12) e (13). 
14. — I gruppi della successione 
(18) G'—WGr', G"-WGr",... 
sono dappertutto non densi (**). 
(*) T punti di ciascuna linea si attribuiranno ad una delle due regioni limitrofe. 
(**) E non numerabili, in generale, come i loro analoghi (14). 
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