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GUSTAVO SANNIA 
1 LIMITI DI DNA FDNZIONE IN UN PUNTO UMITE DEL SUO CAMPO 
Basta dimostrarlo pel primo groppo. Sia infatti A un’area qualunque del piano che 
contenga qualche punto a del gruppo G' — TTG',.'. Il punto a è punto limite di G per qualche 
regione, ma non sarà punto limite per almeno una regione: sia la r. Allora sarà possibile 
costruire un intorno di a tale che nell’interno di quella parte di esso che è contenuta in r non 
cadano punti di G, e quindi neppure punti di G\ e quindi infine neppure punti di G' — TT6r/, 
distinti da a. Ciò prova che quest’ultimo gruppo non è denso in nessuna sua parte. 
Corollari. — I. Se TTGi."' è un gruppo dappertutto non denso, tali sono anche G*"’, G*"“*', ..., 
G' e G medesimo. 
è somma di TT Cr*.'*’ e di 6r‘"^ — TTGl."’ che sono dappertutto non densi, l’uno per ipo- 
tesi, l’altro pel teorema precedente; quindi è dappertutto non denso. Poi è somma 
del gruppo formato dai suoi punti isolati, dappertutto non denso, e del gruppo formato da 
quei suoi punti che sono anche suoi punti limiti (ossia giacciono in (?*"’) e che perciò è dap- 
pertutto non denso; dunque anche è dappertutto non denso. E così via. 
II. Se nessun punto di G appartiene a G^', G è dappertutto non denso. 
Poiché G può scomporsi nel gruppo formato dai suoi punti isolati, dappertutto non 
denso, e nel gruppo di quei suoi punti che sono anche punti limiti. Or questo secondo 
gruppo è un sottogruppo di G\ ma non di Gj (per ipotesi) e quindi neppure di T7 Gj ; 
dunque esso è un sottogruppo di G' — TT G,.' che, pel teorema precedente, è dappertutto non 
denso; e perciò è dappertutto non denso.. 
15. — Ciò premesso, sia a («i, a^ un punto di G/. Se f{xi, è definita in G, conside- 
rando intorno ad a quei soli punti di G che giacciono nella corrispondente regione r, po- 
tremo definire i limiti di indeterminazione 'E di f(xi, Xg) nel punto a relativi alla regione r; 
come pure V insieme limite Lm,. di f(xi, Xg) nel punto a relativo alla regione r, che sarà chiuso 
ed avrà per estremi ,1^, 'l,-. 
Dii’emo che Lm,. è un insieme limite parziale di f{xi.,X'i) in a. 
Questi enti 7^, Lm,. godranno delle stesse proprietà degli analoghi 7, Lm, purché 
si considerino quei soli punti di G che giacciono nella regione r relativa al punto a. Il 
punto a potrà appartenere a più di un gruppo Gj , dando luogo a più terne di enti ,ly, 7,., 
Lm,.. In ogni caso yZ (7) é il minimo (massimo) fra tutti gli yZ,-(7r); inoltre 
Lm = Lm,. . 
§ 5 . 
Relazioni fra gli insiemi limiti. 
16. — Supponiamo che a appartenga a Gj e che perciò in a esistano (oltre agli 
enti yZ, 7, Lm, anche) gli enti ,ly, 'Ir, Lm,. (*). 
Lm^ è contenuto in Lm, quindi: 
yZ < yZ,. < 'Ir < 7. 
Lm,. può coincidere con Lm (e ciò accade, p. es., se a non appartiene ai rimanenti primi 
derivati di G), ma può anche essere solo una parte di Lm (**). 
(*) Ciò che diremo in questo § vale anche per funzioni di una sola variabile, se per regione r inten- 
diamo la sinistra o la destra; allora Gr sarà uno dei gruppi Gl, Gl del n“ 8, e gli enti ,Zr, 'Ir, bmr sa- 
ranno gli enti ,h, 'Is, Lms o gli enti ,U, 'hi, Lmrf del § 3. 
(**) Vale anche qui l’osservazione fatta nella nota al n* 11. 
