MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATUK., SERIE 11, VOL. LXYl, N. 5. 11 
In quoat’ultimo caso esisteranno in Lm dei numeri l non contenuti in Lm,., e questi 
numeri cadranno negli intervalli 
(19) (X, 7). 
Quei numeri di Lm che non appartengono a Lm,. si possono racchiudere in una infinità 
numerabile di intervalli non aventi punti comuni (salvo al più un estremo) ed i cui soli estremi 
possono appartenere a Lm,.. 
Basterà dimostrarlo per quei numeri di Lm che cadono nel secondo degl’intervalli (19), 
perchè i rimanenti già sono due degli intervalli dei quali si parla neH’enunciato, 
Fissato uno l fra questi numeri, osserviamo che fra i numeri di Lm,. minori di l (come 
p. es. ,lr) ve ne sarà uno massimo m (poiché Lm,. è chiuso) e che fra quelli maggiori di l 
(come p. es. 7,.) ve ne sarà uno minimo m' : or questi due numeri m, m' di Lm,. individuano 
appunto uno degli intervalli dei quali si parla nell’enunciato. È poi evidente che due di tali 
intervalli, se non coincidono, non hanno punti in comune (salvo forse un estremo); pecciò 
quelli distinti sono numerabili. 
17 . — Ora domandiamoci: in quanti punti di G), per così dire, può accadere che Lm,. 
non coincida con Lm? Precisamente: di che natura è il sottogruppo D,.' di Gr,.' nei punti del 
quale Lm,. non coincide con Lm? 
Vogliamo dimostrare che : 
Il gruppo Dr' è numerabile per una funzione di una variabile, è di prima categoria (*) per 
una funzione di due variabili. 
Per ipotesi, in ogni punto di DJ vi è qualche numero l di Lm che non è contenuto 
in Lm^. Dividiamo DJ in due sottogruppi E eà F: E sìa, formato da quei punti di DJ ove 
i detti numeri l son tutti finiti; F sia formato dai punti rimanenti, in ciascuno dei quali 
perciò fra i detti numeri l ve ne sarà almeno uno non finito. Basterà dimostrare il teorema 
per questi due sottogruppi di DJ . 
Incominciamo da E. In ciascun suo punto a scegliamo uno X dei detti numeri l e fis- 
siamo un intervallo finito (b, c) tale che nel suo interno (in senso stretto) contenga X, ma nessun 
numero dell’insieme Lmr. 
Per evitare il postulato di Zermelo, occorre precisare la legge di scelta di X e di (ò, c). 
Assumeremo come numero X il minimo fra i detti numeri l di Lm che non cadono in Lm,. 
(e che p. ip. son tutti finiti), minimo che esiste poiché Lm è chiuso. 
Il numero X cadrà in uno degli intervalli (19). Supponiamo che cada nel primo, sicché 
sarà ,1<’K < ,lr- Se J < \ < Jr, assumeremo : 
{b, c) = (jl, jl), se jl e ,1 sono finiti, 
[b, c) = {), X 1), se J è finito e = + oo, 
(è, c) = (X — 1, yL), se ,1 = — 00 e ,1 è finito, 
(è,c) = (X-l,X+l), se ,1 = -^ e yZ,. = + (**). 
(*) Cioè somma di una infinità numerabile di gruppi dappertutto non densi. 
(**) Altre ipotesi su J ,lr non sono possibili, cioè non può essere = co ( o ,lr = — co), perchè es- 
sendo sarebbe anche \ = -|" ** (o X = — oo), mentre che à è finito. 
