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UUSTAVO SANNIA — I LIMITI 1)1 UNA FUNZIONE IN UN l'UNTO LIMITE DEL SUO CAMPO 
So poi è = \ (nel qual caso = \ e finito), assumeremo : 
{b, c) = {^l — 1, se è finito, 
(6, c) = (/ — 1, \ + 1), se ,1, = + 00 . 
So \ cade nel terzo intervallo (19), si farà un’analoga scelta per (6, c). 
Supponiamo infine che \ cada nel secondo intervallo (19). Allora consideriamo queirim 
tervallo {m, m) che nel suo interno contiene X, ma nessun numero di Lm,., e che abbiamo 
costruito nel dimostrare il teorema precedente. Essendo < X < m', si potrà fissare l’in- 
tervallo {b, c) come si è fatto nel caso in cui era / < X < 
Ciò premesso, immaginiamo ordinati tutti i numeri razionali in una successione (il che 
è possibile) 
ed in questa consideriamo il primo numero ri compreso fra 6 e X ed il primo Vj compreso 
tra X e c, estremi esclusi ; sicché : 
Ciò in ciascun punto a del gruppo E. In tal modo ad ogni punto di E corrisponde una 
coppia ed una sola di numeri razionali r^, (r» < rj. Ma, viceversa, ad ogni coppia Pj, 
di numeri razionali potrà corrispondere tutto un sottogruppo A'y di punti dì E e si potrà 
scrivere 
ove la somma ha (al più) un’infinità numerabile di termini, essendo numerabili le coppie 
di numeri razionali. 
Dunque per dimostrare che E è numerabile o di prima categoria, secondo che la fun- 
zione che si considera è di una o due variabili, basta dimostrare che ogni gruppo Eij è 
numerabile o dappertutto non denso rispettivamente; e quindi (n‘ 10 e 14, coroll. II) basta 
dimostrare che ogni gruppo Eij è tale che nessun suo punto è punto limite del gruppo stesso 
per la regione r. 
Supponiamo, per assui’do, che in Eij vi sia un punto a che sia anche suo punto limite 
per la regione r; sicché nella parte E di ogni intorno di a contenuta nella regione r vi 
sia qualche punto a' di Eij distinto da a. In a', come in ogni punto di Eij, è soddisfatta 
la (21). Intanto il numero X che vi figura, essendo un particolare valore dell’insieme Lm 
in a, é un limite della funzione f{x) nel punto a' (nel senso del n° 5), quindi, per defini- 
zione: dato un numero e > 0, in ogni intorno di a, e quindi in particolare in E, esisterà 
un punto almeno x del gruppo G in cui risulti 
Consideriamo il gruppo S formato da tutti i punti x dì G contenuti in E © soddisfacenti 
la (22); questo gruppo, i cui punti giacciono tutti nella regione r relativa ad a, ammette 
( 20 ) 
( 21 ) 
b < Vi <r \ < Tj < c. 
X — e < /■ (a?) < X -|- e 
e quindi, per la (21), 
( 22 ) 
n — e < f{x) < Tj -f €. 
