MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATUR., SERIE II, VOL. LXVI, N. 5. 13 
evidentemente a come punto limite (*). Consideriamo la funzione /'{a;) nei soli punti di H e 
chiamiamo p il suo limite superiore di indeterminazione nel punto a : p sarà un limite nel 
punto a e per la regione r, anche per la funzione /‘(a?) considerata in tutto il gruppo (7, 
ossia p apparterrà all’insieme Lm,.. Intanto, per la (22), sarà necessariamente 
Vi — e ^ p < rj- -j- e. 
Qui e è un numero positivo prefissato, ma arbitrario : supponendo di averlo preso mi- 
nore di ri — h e di c — , risulterà 
è < P < c. 
Ora ciò è assurdo, perchè sappiamo che neH’interno in senso stretto di {b, c) non cadono 
numeri di Lm,.. Ciò prova quanto avevamo asserito circa il gruppo Eij, e quindi prova che 
il teorema sussiste pel sottogruppo E di Dr. 
Resta a dimostrare il teorema pel sottogruppo F. Dimostreremo precisamente che F è 
numerabile o dappertutto non denso, secondo che la funzione f{x) è di una o di due va- 
riabili. Ricordando che in ogni punto di F l’insieme Lm ha qualche valore non finito (ne- 
cessariamente un estremo o 7) che non appartiene a Lm,., possiamo scomporre jF in due 
sottogruppi H e F — H: H contenga quei punti di F ove 7 non è finito e non appartiene 
a Lm,. Q F — Hi rimanenti. Nei punti di H sarà 7=-j-oo, perchè se fosse 7 = — oo, 
sarebbe anche ,1= — oo (poiché h 7), quindi Lm e Lm,. coinciderebbero (nell’unico va- 
lore — oo). Nei punti di — H sarà ,1= — oo e non apparterrà a Lm^. 
Per dimostrare che F gode della proprietà enunciata, basta dimostrare che di detta 
proprietà godono H qò. F — LZ, ed a tal uopo basta dimostrare (n* 10 e 14, coroll. II) che 
nessun punto di fi” (di F — H) è punto limite del gruppo stesso per la regione r. 
Considerando p. es. H, supponiamo, per assurdo, che H contenga qualche punto a che 
sia punto limite di H per la regione r; allora nella parte F di ogni intorno di a giacente 
nella regione r esisterà un punto a di H distinto da a. In a si ha che 7 = -j- oo è un 
limite di f{x), quindi: dato un numero iV > 0, esisterà in ogni intorno di a , e quindi in 
particolare in 7,., almeno un punto.» di G tale che in esso risulti 
(23) f{x) > N. 
Sia S il gruppo formato da tali punti di G giacenti in F. Evidentemente S ha per punto 
limite a per la regione r, quindi f{x), considerata in S, avrà un limite superiore di inde- 
terminazione che, per la (23), non potrà essere che Oi’ dunque f{x) considerata in 5, 
e quindi anche considerata in G, ammette -\- oo come un limite nel punto a per la regione r, 
cioè 7 — -|-oo giace in Lm^. E ciò è contrario all’ipotesi. 
Corollario. — Sono pure numerabili o di prima categoria, secondo che la funzione è di 
una 0 due variabili: il gruppo formato da quei punti di G' ove l’insieme limite Lm della fun- 
zione non coincide con gli insiemi limiti parziali Lmr; il gruppo formato da quei qmnti di G' 
ove almeno due insiemi limiti parziali non coincidono ; il gruppo formato da quei punti di G' 
ove gli insiemi limiti parziali relativi a due regioni prefissate r, r' non coincidono. 
Infatti il primo gruppo è la somma S Df di DJ e di tutti i suoi analoghi (che sono 
tanti quante sono le regioni r) ed i rimanenti sono suoi sottogruppi. 
(*) Per convincersene, basta osservare che il ragionamento precedente vale comunque sia piccolo Ir c 
che perciò di punti x ài G soddisfacenti la (22), ossia di punti di S, ne esistono che sono vicini ad a quanto 
si vuole. 
