1 1 UUSTAVO SANNIA — I LIMITI 1)1 UNA FUNZIONE IN UN l’UNTO LIMITE DEL SUO CAMPO 
18. Osservazioni. — Per l’ultimo gnippo il teorema è stato dimostrato direttamente 
da W. H. Young (*) nell’ipotesi che la funzione sia definita in un continuo e che gl’insiemi 
limiti parziali siano intesi nel senso del du Bois-Reymond (n® 3). 
Il più ampio dei gruppi da noi considerati è DJ . In ciascun suo punto a vi è almeno 
una regione r tale che il corrispondente insieme limite parziale Lm^ della funzione non 
coincide con tutti i rimanenti e col totale Lm ; quindi si può dire che in « e per le varie 
regioni r vi è dissimmetria di tendenza ai limiti per la funzione. Invece nei punti rimanenti 
di G' vi è simmetria. E se si osserva che G' può essere un gruppo qualunque, mentre che 'LDJ 
è necessariamente numerabile o di prima categoria, si può asserire col Young che la sim- 
metria è tm fatto generale e la dissimmetria è un fatto aocidentale. 
L’interesse di questi risultati è evidente. Essi sembrano paradossali, perchè contrarii 
ad ogni nostra aspettativa (Cfr. la nota al n® 11 e la seconda nota al n® 16). 
Così, in particolare, per una funzione di una vai’iabile i limiti a sinistra e i limiti a 
destra di un punto di G' (o meglio del gruppo derivato ristretto GJ GJ) coincidono; quindi, 
in particolare, se esiste il limite a sinistra esiste anche il limite a destra e gli è uguale. 
Ne segue che se 6r è un gruppo chiuso e la funzione è continua a sinistra (destra) essa è 
pure continua a destra (sinistra). Tutto ciò in generale, cioè salvo che in un gruppo di punti 
numerabile. 
§ 6 . 
Limiti iterati. 
19. — Una funzione di due variabili f{xi,xj) definita in un gruppo G ammette in 
ciascun punto a (ai, aj) di G' un insieme Lm di limiti, fra i quali uno minimo ed uno massimo: 
(24) ,1= ^lim f{xi,x^), V = Tim f{x^,xj). 
Questi limiti si son detti anche doppii (n® 12) appunto perchè son limiti d’una funzione 
di due variabili. Ora noi vogliamo mostrare come si possa pervenire ad alcuni di questi 
numeri mediante ricerche ripetute di limiti semplici ossia di limiti di funzioni di una sola 
variabile. Però questo processo non è applicabile in ogni punto di (?', ma solo in alcuni di 
essi che chiameremo punti limiti iterati di G. 
20. — Si cerchino i punti limiti dei sottogruppi G (., xj) di G formati di punti aventi 
a comune l’ordinata x^’. essi saranno anche punti limiti di G, quindi formeranno un sotto- 
gruppo Gj di G'. In GJ si cerchino i punti limiti di quei sottogruppi GJ {x^ , .) che sono 
formati da punti aventi a comune l’ascissa Xi : questi ultimi punti apparterranno al secondo 
derivato di (r e quindi (come è noto) anche a G', e formeranno un sottogruppo di G' (e di G") 
che indicheremo con G^J- 
Chiameremo G^J gruppo primo derivato iterato rispetto a Xi e a X 2 (in quest’ordine) di G 
e ciascun suo punto lo chiameremo un punto limite iterato rispetto a Xi e a X 2 di G. 
Dunque un punto a (ai, a 2 ) di G^J è tale che è punto limite di un sottogruppo GJ (ai, .) 
di punti di G' aventi a comune l’ascissa ai, e ciascuno dei quali (ai,aj 2 ) è, a sua volta, 
punto limite di un sottogruppo G{.,xJ) di punti di G aventi a comune l’ordinata X 2 . 
(*) “ Proceedings of thè London Mat. Soc. ,, (2), 8, 1909, p. 117. 
