MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATDK., SERIE II, VOL, LXVI, N. 5. 
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Analogamente si definiscono i punti limiti iterati rispetto « Xg e a x^, il cui gruppo in- 
dicheremo con G^i e chiameremo primo derivato iterato rispetto a X2 e a Xj di G, Non è 
escluso che un punto appartenga tanto a G12 che a G21'. 
Così se è il gruppo dei punti interni al triangolo che ha per vertici i punti 0 (0, 0), 
.4(1, 2), B{2, 1), ogni punto del triangolo appartiene tanto a G12 che a G21, eccetto: A che 
appartiene solo a G12' , B che appartiene solo a G21 ed 0 che non appartiene nè a G12 , 
nè a G21'. 
Anche un punto all’infinito può essere considerato come punto limite iterato. 
Così, se (r è il gruppo dei punti del piano di coordinate intere e positive (sicché una 
funzione definita in esso dà luogo ad una successione doppia), può dirsi che il punto (-j- 00, -f od) 
appartiene tanto a 6^12' che a G21. Appartiene, per esempio, a G^2 , perchè può considerarsi 
come punto limite del gruppo G^' (., -\- 00), formato dai punti 
( 1 ,-f 00), (2, -f 00), (3, 4 - co), ... 
aventi a comune l’ordinata -j- c ciascuno dei quali {n, -)- <») è punto limite del sotto- 
gruppo G [n, .) di punti 
{n, 1) , {n, 2) , («, 3) , . . . 
di G aventi a comune l’ascissa n. 
21. — D’ora innanzi (fino al n° 27) supporremo sempre che a(ai,a2) sia un punto 
di Gi 2 . 
Esso è punto limite del gruppo G^ (ai, .), ciascun punto del quale (ai,a:2) è punto limite 
del gruppo G (., 0:2). In quest’ultimo gruppo f{xi, X2) è funzione della sola variabile Xi, quindi, 
così considerata, ammette nel punto x^ = a^ un insieme di limiti (semplici) che indicheremo 
con Lmi {X'^. I numeri estremi ,li {X2), 'h (^2) questo insieme (che è chiuso) sono i limiti 
di indeterminazione di questa funzione di Xi nel punto Xi = ai'. 
(25) {X2) ■= yimf [xi , X2) , 'h («2) = 'lini f {xi , X2). 
2Jj— 
Variando il punto (ai,a:2) in Gì (a^, .), varia X2, e quindi varia l’insieme Lmj (0:2) : se 
in ciascuno di questi insiemi scegliamo, con una legge arbitraria, un numero, nasce una 
funzione li{x2) della variabile X2 definita nel gruppo Gi{ai,.); e, poiché X2 = a2 è punto 
limite di tal gruppo, detta funzione ammette nel punto X2 = (I2 un insieme di limiti (sem- 
plici) (*). 
Variando in tutti i modi possibili la legge di scelta, otterremo tutto un insieme di tali 
insiemi di limiti semplici. Chiameremo insieme limite iterato rispetto ad Xi e ad X2 (in questo 
ordine) di f{xi,x^ nel punto a(ai,a2), ed indicheremo con Lmi2 la totalità dei numeri di 
tutti questi insiemi. 
(*) Poiché i valori di ò(^s) sono scelti tra quelli degli insiemi Lm,(a:j) e poiché questi, essendo insiemi 
limiti di funzioni, possono anche contenere i valori -|- 00 e — 00, ne segue ohe la funzione li(xù anche 
assumere i valori -j- 00 e — 00 nel suo campo G, {at , .). Per definire i limiti nel punto *2 = 02 di una fun- 
zione siffatta si procederà come nel caso di una funzione ordinaria (n° 5) con l’avvertenza di considerare -|- 00 
e — 00 come numeri rispettivamente maggiore e minore di tutti i numeri reali. 
