10 
GUSTAVO SANNIA 
I I, IMITI PI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO LIMITE DEI, SUO CAMPO 
L’insieme Lni,3 esiste (indipendentemente dal postulato di Zermelo), perchè, essendo gli 
insiemi Liiii (r>-o) degli insiemi chiusi, è possibile fissare effettivamente alcune delle dette 
leggi di scelta. Per es. si può prendere in ciascun insieme Lm, {x^) il suo estrenlo inferiore 
( 26 ) (ajg) = ,lim/'(a;i,a;j,): 
nasce così una funzione di X2 il cui insieme limite nel punto x^ = sarà una parte del- 
l’insieme Lm,2. È inoltre evidente che dei due estremi 
( 27 ) 
,lim ,/, (.Ta) , 'lini ,h {x^) 
di questo insieme, il primo è anche l’estremo inferiore di tutto l’insieme Lm^a- 
Analogamente: considerando '/j («2), in luogo di (a^a), si perviene allo stesso modo ad 
un altro insieme anch’esso parte di Lmja; dei suoi estremi 
( 27 )' ,lim 7 i (a^a) , 'lim 'L ÌX2) 
■Xo^a» 
il secondo è anche estremo superiore di tutto l’insieme Lmig. 
Indicheremo anche con /12, 'I12 gli estremi di Lniia, cioè porremo 
( 28 ) 
/la — ylim (.Ta) = ,lim ,lim f[x^,X 2 ), 
X'i=a^ xi—ct^ 
I 'Zia = 'lim 7 i (.Ta) 
' * 2="2 
'lim 'lim f{xt , a?a), 
Xj='J, X,=«] 
0 li chiameremo limiti di indeterminazione (rispettivamente inferiore e superiore) iterati rispetto 
a Jii e a Xg di f{xi,xf) nel punto a{ax.af). 
Quando fi2 = 'In, e solo allora, tutti i numeri dell’insieme Lmia coincidono. Quest’unico 
numero, finito 0 infinito, si dirà perciò il limite iterato rispetto a a^j e a 0:2 di f{x^ , X2) nel 
punto «(rti,«2)- In tal caso i quattro numeri rappresentati dai simboli ( 27 ) e ( 27 )' si ridu- 
cono a quest’unico numero. Dall’uguaglianza dei due numeri ( 27 ), segue che esiste il limite 
di yZi («2) nel punto X2 = a2, e dall’uguaglianza dei numeri ( 27 )' segue che esiste il limite 
di 'h{xf) nel punto ajg — «2? dunque il limite iterato rispetto a a^i e a a^g di f{xi,xf) in 
rt(oi,r/a) può rappresentarsi con uno dei simboli 
( 29 ) lim fi (ajg) = lini ^lim f{xi , arg) , lim 'f (.Ta) = lim 'lim f (xi , X2) 
oppure con 
( 29 )' lim fli (x-a) — lim /lim /"(a?!, X2) (*). 
X2—a^ Xo-=ao Xj=a| 
22. — Ora noi vogliamo dimostrare che, come abbiamo preannunziato nel n° 19 , i limiti 
iterati rispetto a a?i e a ajg non sono che particolari limiti doppii, ossia che: 
L’insieme limite Lmjg iterato ris^ìetto a Xi e a Xg è contenuto nell’insieme limite Lm. 
(*) Scrivendo fi, e /lini, vogliamo intendere che è indifferente scrivere , 1 , 0 'ì,, come pure /ini 0 'lini. 
x,=a, 3 P)=ai *1=01 
