MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATDR., SERIE II, VOL. LXVI, N. B. 17 
Si tratta di dimostrare che ogni numero I12 di Lmi2 è un limite doppio di 
in a (ai, 02). 
Supponiamo anzitutto che sia finito e consideriamo un intorno qualunque / di a de- 
finito dalle limitazioni 
( 30 ) ai — hi < hi, — h^ < x^ < h^. 
Per definizione (n" 21 ), il numero I12 è un limite nel punto X2 — U2 di una certa fun- 
zione li{x^ di X2 definita in Cri'(ai,.), quindi (n° 5 ): dato un numero 'e > 0 , nell’intorno 
(ag — ^2, a2 -|- ÌI2) di X2 = 02 esiste un punto X2 di Gì (oi, .) distinto da 02, tale che risulti 
( 31 ) Zi2-^ < {^2') < ^12 + Y • 
Intanto li(x2) è a sua volta un limite nel punto Xi=-ai della funzione f{xi,X2) della 
sola Xi nel gruppo 6r(.,a?2 ), quindi: nelTintorno (oi — + di ai esiste un punto x/, 
distinto da Oi, tale che risulti 
( 32 ) li {X2) — ^< ^2) < l] {^2) + ~ . 
Da ( 31 ) e ( 32 ) segue che 
( 33 ) ^12 — e < f{xi, X2) < ^2 + € ; 
dunque, dato e > 0 , in ogni intorno / di a (ai, 02), definito dalle ( 30 ), esiste un punto (x/, Xz), 
distinto da 0(01,02), nel quale è soddisfatta la ( 33 ); quindi, per definizione, I12 è un limite 
doppio di f(xi,x^ in 0(01,02). 
Ora supponiamo che I12 non sia finito e, per esempio, che sia Zi2 = -|-oo. Consideriamo 
ancora l’intorno I di o, definito dalle ( 30 ). Poiché Z12 = ® un limite della funzione li (x^^ 
nel punto x.2 = a2, segue (n° 5 ) che: dato un numero -K’-j-e (ove iìT ed e sono numeri po- 
sitivi arbitrarii), nell’intorno (og — ÌI2, «2~h^*2) di 02 esiste un punto X2 di Gì (ai , .) distinto 
da Oi, tale che risulti 
( 34 ) li(x 2 )>K+^. 
Ora li(x2) è un limite della funzione f(xi,X2) della sola Xi nel punto o:i = Oi, limite 
che può essere finito 0 uguale a -f- 00. 
Se è finito, nell’intorno (oi — hi, Oi -f- hi) di Oi esiste un punto Xi, distinto da Oi, tale 
che risulti 
( 35 ) li (X2) — 6 < /■ (Xi, X2) < ^1 (X2') + €. 
Da ( 34 ) e ( 35 ) segue che nel punto (xi,x^) dell’intorno prefissato / di o, e distinto 
da o, si ha 
( 36 ) f (xi , 3?2 ) > K. 
Essendo K un numero prefissato, ad arbitrio, ciò esprime che li2= oo è un limite 
della funzione f(xi,X2) nel punto 0(01,02). 
Se invece li (X2') = -j- 00, nell’intorno (cti — hi, ai hi) esisterà un punto x/, distinto 
da Oi, tale che in esso risulti soddisfatta la ( 36 ); se ne deduce perciò ancora che /i2=:^-|-oo 
è un limite di f(xi,X2) nel punto 0(01,02). 
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