18 GUSTAVO SANNIA — I LIMITI DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO LIMITE DEL SUO CAMPO 
23. — Segue dal teorema precedente, che gli estremi di Lnix 2 sono compresi fra quelli 
di Lm: 
(37) 
ossia : 
(37)' ^lim ^lim /"^'lim 'lim /"< 'lim f (*). 
*i=ai, *;=ai aro=Oj Zi=a| **=<>» ®i=“i ®i=“i. *»=<>« 
Se ne deduce che se = 'I = 1 , è anche = = l (non viceversa), cioè: se nel 
punto a (aj , a2) di G12' esiste il limite doppio di f (xx , X2), esiste anche il limite iterato rispetto 
a Xi e a X2 e gli è uguale. 
24. — Fra i limiti doppii di f{xi,X2), cioè fra i numeri di Lm, i più importanti per 
le applicazioni sono gli estremi ,l q 'l\ e fra i limiti iterati rispetto a e a a?2, cioè fra 
i numeri di Lmi2, i più importanti sono gli estremi ,li2 e '/12. 
Il numero ,l i^l) si può ottenere direttamente, cioè mediante la sua definizione (n® 12) ; 
ma si può anche ottenere per via indiretta, calcolando invece ;^i2(^^i2)> e ciò quando si 
sappia essere ,l = /12 ('/ = '^12), il che è possibile per la (36). In tal modo si ha il vantaggio 
di calcolare ,l ('/), che è un limite di una funzione di due variabili, mediante calcoli ripetuti 
di limiti di funzioni di una sola variabile. 
Ora noi vogliamo rilevare appunto dei casi notevoli nei quali è ,l = ,li2 0 '1 = 'I12 0 è 
nel contempo ,l = ,li2 e '1 = 'l^ (**). 
Un primo caso risulta immediatamente dalla (37) : 
a) Se è ^li2 — — 00 ('I12 = -|- 00), si ha ^1 = ^li2 ('1 — 'I12). 
25. — Per ottenere casi di maggior rilievo, premettiamo alcune definizioni. 
Supponiamo che in tutto un intorno I2 = («2 — ^21 «2 ^2) di X2 — 02 i numeri ^l^ (3*2), 
estremi inferiori degli insiemi Lnii (3:2) (n° 21), siano finiti e limitati, sicché esista un nu- 
mero k > 0 tale che risulti ' 
(38) I ^li {X 2 ) I < A' in I 2 . 
Poiché ^l («a) è limite inferiore di indeterminazione nel punto aji = ai della funzione 
f(xi,X2) della sola a^i definita in (? (., aja), segue (per la proprietà II di una nota al n° 9) 
che: dato e > 0, esiste qualche intorno di a;i = ai, tale che per tutti i punti Xi di G(.,X2) 
interni ad esso risulti 
(39) — 
Sia [oj — hi (3:2), ai -|- h^ (3:2)] l’intorno limite superiore di tali intorni, ove hi (3:2) è una 
funzione di X2 definita nei punti di Cri' (ai,.) contenuti in I2. Supponiamo che ivi essa am- 
metta un limite inferiore hi diverso da zero. Potremo allora asserire che la (39) ha luogo 
per tutti gli 3:1 deH’intorno fisso li = (ai — Ai , ai -|- Ai) di Xi = ai, qualunque sia il punto 372 
di Gl {ai, .) e di I2. Diremo in tal caso che la funzione f{xi,X2) della sola Xi è uniforme- 
mente limitata inferiormente nelPintorno I2 di X2 = a2. 
(*) Per brevità abbiamo scritto f in luogo di f(xi, Xi). 
(**) Questi casi sono estensioni di altri già rilevati da A. Pringsheim (“ Math. Annalen ,, B. 53, 1900, 
p. 294) e relativi al caso particolare di una funzione definita nel gruppo dei punti aventi coordinate intere 
e positive {successione doppia). 
.1 
