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MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATUR., SERIE II, VOL. LXVI, N. 5. 
Analogamente: in Ì2 sia \'l]_{x2)\< k e inoltre, dato e > 0, esista un intorno 6sso 
di Xi = ai nel quale sia 
( 39 ) ' f{xi,x^i)<'li{jCi)Y^', 
allora diremo che la funzione f{xi,x^ di Xi è uniformemente limitata superiormente nell’ in- 
torno I2 di X2 = a^. 
Se i due fatti si verificano contemporaneamente, diremo che la funzione f{xi,xf) di aji 
è uniformemente limitata in I2. Allora, dato e, esiste un intorno fisso di Xi = ai tale che 
per ogni Xi di esso e per ogni X2 di I2 risulti 
(40) ,li {X2) — ^<f{xi,X 2 )< 'li {X2) + t (*)• 
Ciò premesso, dimostriamo che: 
b) Se la funzione f(xi,X2) di Xi è uniformemente limitata inferiormente (superiormente) 
in un intorno I2 di X2 = a2, si ha che ,1 = ,li2 (^1 = ^li2) ^d è finito. 
Dall’ipotesi risulta che : dato e > 0, per ogni Xi di un intorno li di Xi = ai e per 
ogni X2 di I2, si ha 
(41) )i {X2) — y < f{Xl,X 2 ). 
Poiché )i2 = ylim )i (ajg), esiste un intorno If di X2 = «2 tale che in esso risulti 
Xi=a, 
(42) ,li 2 -^ < ,hM 
Da (41) e (42) segue che si ha 
(43) ,li 2 ^ f [xi, X2) 
per ogni Xi di e per ogni X2 del minore dei due intorni I2, If di X2 = a2, e quindi per 
ogni punto (xi,X2) di un certo intorno J del punto a(ai,a2). 
D’altra parte (per la 1* proprietà ricordata in nota al n° 2) si ha che in J esiste un 
punto (xi , X2) tale che sia 
(44) f{xi,X 2 )<))r-^‘ 
Dalla (44) e dalla (43) applicata a tale punto, segue che è /12 < + quindi ,li2‘^,l, 
poiché e è arbitrario; ma, per la (37), non può essere ,li2 < , 1 , quindi é )i2 = 
26 . — Supponiamo che esista il limite iterato (unico) rispetto a a:i e a 0:2 di f{x 2 ,X 2 ) 
nel punto a(ai,«2) e che sia -f-00 0 — 00. In simboli (n°21): 
lim fli {X2) = ± 00. 
*1=02 
{*) Ne segue che, se è Jt = (xi) in Ig, cioè se la funzione fix^, x^ di Xi tende ad un limite unico 
per ogni x^ di Jj, essa tende uniformemente a tal limite in l^. Dunque il concetto di uniforme limitatezza e 
generalizzazione del noto concetto di uniforme tendenza al limite. 
