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GUSTAVO SANNIA 
— I I.IMITI 1)1 UNA FUNZIONE IN UN PUNTO UMITE DEE SUO CAMPO 
Aftinchè ciò si verifichi occorre e basta che sia 
lini {Xi) = f- 00 0 liin '/j (ajg) = — oo. 
Xj=<l2 
Vuol dire che, dato un numero K > 0 , esiste qualche intorno I2 di X2 = ai tale che 
per tutti i punti di esso risulti 
,k {^2) > 0 'k (* 2 ) < — K. 
Ne segue, poiché ,k{^2) ^ 'k{^2) sono i limiti di indeterminazione della funzione f{xi,X2) 
della sola Xi nel punto «1, che esisterà qualche intorno di Xi = ai tale che per ogni aji in- 
terno ad esso risulti 
( 45 ) f{xi,X2) > K 0 f{xi,X2) < — K. 
Sia [«1 — hi (x^, ai -f- (a)2)l l’intorno limite superiore di tali intorni, ove hi{X'^ è fun- 
zione di «2 in I2. Supponiamo che ivi essa ammetta un limite inferiore hi diverso da zero. 
Allora potremo asserire che la ( 45 ) ha luogo per ogni di I2 e per ogni Xi dell’intorno 
fisso Ii = [ai — Gl + ^1) di Xi = ai. Diremo in tal caso che la funzione f{xi,X'^ di x^ 
è uniformemente illimitata neH’intorno I2 di X2 = «2 (*)• 
Poiché, dato AT > 0 , la ( 45 ) ha luogo in tutti i punti {xi,X2) di un intorno di a(«i,a2), 
definito dagli intorni li e I2 di ai e a2, vuol dire che la funzione /"(xx, 0:2) ammette il limite 
doppio (unico) 00 0 — 00 nel punto a (ai , «2)- 
Dunque : 
c) Se la funzione f (xi, X2) di Xx è uniformemente illimitata in un intorno I2 di X2 = ag, 
si ha 
J, = J,i 2 — 'li 2 = 'I = zhcc ^ 
cioè la funzione f(xi, X2) ammette il limite iterato rispetto a Xx e a Xg e il limite doppio in a (ai, a2) 
ed entrambi uguali a +00, 
Da a), h), c) segue che : 
d) Si ha nel contempo yl = ;lx2 ^ ^1 — ^li2- 1 * se f(xx,X2) è uniformemente limitata 0 
illimitata in un intorno I2 di X2 = a2 ; 2 ° oppure se f (xx , X2) è uniformemente limitata inferior- 
mente (superiormente) ed è '1x2 = -f- (/^i2 = — <^)- 
27 . — Se la funzione f{xi, xf) di Xi é uniformemente limitata in un intorno I2 di X2 = «2 
e la funzione f(xi,X2) di Xi e X2 ammette il limite iterato (unico) rispetto a a^x e a 
in a(ai,a2), questa funzione ammette anche il limite doppio (unico) in a(ax,«2); inoltre 
questi due limiti sono finiti ed uguali. Ciò segue dal teorema b) e dal fatto che è /x2 = ^^i2> 
per resistenza di un unico limite iterato. 
Viceversa: se esiste il limite doppio (unico) finito l di f(xi,X2) in à(ax,a2), nel qual 
caso esiste anche il limite iterato (unico) rispetto a rsi e a 0:2 e gli é uguale (n° 23 ), allora 
la funzione f(xi,xf) di Xi é uniformemente limitata in un intorno di x2 — a2. 
(*) Se in particolare è (xt) ='ò {x2) = ± 00 in /j, cioè se la funzione f(xi, xì) di x^ ammette il limite 
(unico) zb °° nel punto Xì=at, per ogni x^ di Jj, allora si vede subito che l’ipotesi che f(xi,x^ di *1 sia 
uniformemente illimitata in I2 equivale all’altra che f{x\, x^ di Xj tenda uniformemente a + in /2. Dunque 
il concetto di uniforme illimitatezza è generalizzazione del noto concetto di tendenza uniforme a + 00. 
