MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATUK., SERIE II, VOL. LXVI, N. 5. 
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Infatti, poiché esiste il doppio limite finito l di f(xi, Xz) in a (ai, Oz), si ha che; dato e> 0, 
esiste un intorno di a(ai,az), definito da due intorni li e Iz di Xi = ai e xz = az rispetti- 
vamente, in tutti i punti (xi,Xz) del quale si ha 
(46) 
Poiché l é anche il limite iterato (unico) rispetto a cci e a Xz di f(xi,Xz) in a(ai, 02 )i 
si ha (n“ 21) 
l = lim (xz) = lim 'li (« 2 ). 
X2 — flf 
xj=aj 
Ne segue che /i (xz) e 'li (xz) sono funzioni di Xz finite e limitate in un intorno Iz 
di Xz — az. Sia Iz' il più piccolo dei due intorni Iz e Iz . Per ogni Xz di Iz', ,li(x^ e 'li(x^ 
sono i limiti di indeterminazione della funzione f(xi,X'^ della sola Xi nel punto Xi = ai', 
or poiché la f(xi,X'^ soddisfa la (46), ne segue che sarà necessariamente 
<A(aT2) < / + + Y 
per ogni Xz di A". Se ne deduce che sarà 
ih (^2) — ^ < I ^ ^ ^ < ^^1 (^2) + ^ > 
e quindi a fortiori, per la ( 46 ), 
'h (xz) — e < f (xi, Xz) < 'h (xz) + e 
per ogni Xi di A e per ogni Xz di Iz". Ciò prova (n® 24 ) che la funzione f(xi,Xz) di Xi è 
uniformemente limitata nell’intorno A" di 0:2 = «2- 
Dai due risultati precedenti deduciamo che: 
e) Affinchè esista il limite doppio (unico) finito, di f(xi,X2) in a(ai,a2) è necessario e* 
sufficiente che la funzione f (x^ , X2) di x^ sia uniformemente limitata in un intorno di X2 = a2 
e che esista il limite iterato (unico) 1 rispetto a ~x.i e a Xz di f(xi,X2) in a(aj, a2). Detto limite 
doppio sarà anch'esso uguale ad 1 . 
28 . — Dal teorema c) del n° 25 si deduce che se la funzione f(xi, Xz) é uniformemente 
illimitata in un intorno A ùi Xz = az, esiste il limite doppio unico di f(xi,xf) in a(ai,az) 
ed é ± 00. Questo risultato si può invertire. 
Supponiamo p. es. che esista il limite doppio e sia • 
( 47 ) lim f(xi,xz) = -\r^- 
Allora (n° 23 ) esiste anche il limite iterato rispetto a XiQ s^XzB gli é uguale, sicché (n° 21 ) 
( 48 ) lim )i (xz) = lim 'li (xz) = -|- 00. ^ 
Per la ( 47 ), si ha che: dato un numero K > 0 , esiste un intorno di a(ai,az), definito 
da due intorni li e A ùi Xi = ai e 0:2 = 02 rispettivamente, in tutti i punti (xi, Xz) del quale 
si ha 
( 49 ) 
f(xi, Xz) > K. 
