GUSTAVO SANNIA 
1 UMITI 1)1 UNA FUNZIONE IN UN PUNTO LIMITE UEL SUO CAMPO 
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Possiamo anche dire che, qualunque sia a*2 di la (49) è soddisfatta per ogni Xi del- 
Pintorno fisso ij di Xi = a^. 
Tutto ciò esprime, per definizione (n® 21), che la funziono f{xi,x.^) di Xi è uniforme- 
mente illimitata in I2. Dunque: 
f) Affinchè la funzione f (xi , X2) ammetta nel punto a (a^ , a2) il limite doppio (unico) ± 00 
è necessario e sufficiente che la funzione f(xi,X2) della sola Xj sia uniformemente illimitata in 
un intorno Ij di X2 = a2 . 
29. — Fin qui abbiamo supposto che «(ai,a2) sia un punto di Gi2- Tutto si può ri- 
petere in un punto dell’altro analogo sottogruppo di G' (n® 20), solo che si scambino 
le veci delle due variabili x^ ed x^. 
Si definisce cosi l’insieme limite Lm2i rispetto a x^ e a Xi ài f{xi,x^ nel punto a(ai,a2) 
i cui estremi 
/21 = ^lim ^2 (a^i) = /lim /firn f {xi , X2) 
Xy—Ci\ 
'/21 = 'lim 'I2 {xf) = 'lim Mim f [xi , X2) 
si diranno i limiti di indeterminazione iterati rispetto a X2 e a Xy ài f{xi,xf) in a{ai,af). 
Quando coincidono, f{xi,xf) ammette il limite iterato rispetto a 0:2 e a a:i in a, che si 
indicherà con 
lim /Z2 (a?i) = lim /ìimf{xi, X2). 
L’insieme Lm2i è contenuto in Lm (n® 22). 
Per i numeri , 1 , /21. ^^21» valgono teoremi analoghi a quelli dimostrati nei n* 23, ..., 28. 
30 . — Infine in un punto a{ai,af) comune a G ^2 e a (?2i' esisteranno ambedue gli 
insiemi limiti iterati Lmi2 e Lm2i, entrambi contenuti in Lm. Essi potranno essere distinti 
o coincidenti, in tutto 0 in parte. 
Citeremo, per finire, un caso notevole in cui essi coincidono, riducendosi ad un sol nu- 
mero finito : 
Se esiste il limite iterato rispetto a e a X2 di f (x^, Xg) in a (ai, a2) e la funzione f(xi, X2) 
di Xi è uniformemente limitata in un intorno di X2 = a2, allora esiste anche il limite iterato 
rispetto a X2 e a Xi ed è uguale al primo, ed inoltre la funzione f (xi , X2) di X2 è uniforme- 
mente limitata in un intorno di Xi = ai. E viceversa. 
Ciò segue dal teorema e) e dal suo analogo. 
Questo teorema dà quindi condizioni sufficienti per poter scrivere 
lim /lim f{xi , X2) = lim /lim / (a:! , X2) 
ossia per poter invertire i due passaggi al limite nel calcolo del limite iterato (unico e finito) 
di f{xi,xf) in a(ai,«2)- 
R. Università di Cagliari, 2 aprile 1915. 
