1 1° Nommons E(N, N') le domaine des formes F, 
L'Addition (2") sera l'addition ordinaire, mais s'opéranl 
cxclnsivement entre formes de même ordre et de môme 
classe, de façon que la somme soit encore une forme de 
l'ordre et de la classe donnés, suivant la formule 
F' {1)1, ///')+ F" (m, m') = F{/n, m'). 
La Multiplication (3°) sera la multiplication ordinaire 
¥'{m, m') ¥"{n, n') = ¥ {m + n, m'+ a'). 
Les formes d'ordre nul et de classe nulle sont des con- 
stantes C. Si C = o, on a le zéro, module de l'Addition (2°). 
Si G = . , on a l'unité absolue, module de la Multiplica- 
tion (3"). 
Les coefficients des formes F sont des nombres, complexes 
ou réels, ordinaires quelconques. 
t2° Le domaine E(N, N ) est-il holoïde au sens du Zj"? 
Oui, car l'équation à inconnue ^, par exemple, 
n'est satisfaite par aucune forme d'ordre un et de classe zéro. 
Le domaine est-il complet? On peut construire le p. g. c. d. 
D de deux formes F et G considérées comme polynômes aux 
N 4- N' variables indépendantes x et u. Seulement, il reste 
à prouver que D est lui-même une forme. 
Quoique la propriété soit presque évidente, voici une 
démonstration. 
i3" Il suffira de montrer que le domaine E(N, N'), ou 
simplement E, est complet dès cju'est complet le domaine E, 
obtenu en se restreignant, dans E, aux formes où ne figure 
plus une des variables indépendantes, par exemple. En 
effet, procédant ainsi de proclie en proclie, on arriverait aux 
domaines E(i,o) ou E(o, i), c'est-à-dire aux formes x"' 
ou , à une seule variable. Ges derniers domaines sont évi- 
(leinnient complets. 
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