GIÎNÉKALITÉS. r)3 
Les deux expressions GQ et B™""^'F sont deux lerincs de E, 
avec même ordre et même classe. Il en est, en verlu de (i), 
de même pour R. 
i6" La présente analyse se résume en Ténoncé suivant : 
Théorème. — Soie/if F et G deux formes qui, sont des 
termes du domaine E. Considérons ¥ et G comme des poly- 
nômes en X et supposons le degré m de ¥ en x supérieur 
ou égal au degré n de G en x Divisons ¥ par G; le reste 
de la division est encore un terme de E. 
1 7° F et G enTisagés comme polynômes à N + N' vai^iables 
indépendantes 37 et u admettent (12°) un p. g. c. d. D. Je vais 
montrer que D est aussi un terme du domaine E. 
Pour chercher D, on opère par l'algorithme d'Euclide 
(Kônig', p. 89). On divise F par G et Ton a un reste R, terme 
de E. On divise ensuite G par R et l'on a un reste R, et ainsi 
de suite, toujours traitant F, G, R, R,, Rj, ... comme des 
polynômes en x. Les restes successifs sont des termes de E, Le 
p. g. c. d. D cherché est un de ces restes et D est un terme 
de E. 
En résumé, le domaine E du 1 1" est un domaine complet. 
Pour être tout à fait exact, je dois ajouter que D est un des 
restes successifs, après que ce reste a été rendu primitif par le 
départ d'un facteur, terme du domaine E, (Kônig, p. 90); 
mais cette observation ne change rien au résultat. 
18" La discussion qui précède donne la façon de calculer le 
p. g. c. d. D de deux formes F et G, termes du domaine E. Ce 
dernier domaine est donc bien déjini au sens du 9". 
