nOMAlNF. lIOLOÏliE <> DES 1 OiniKS MIXTF.S. ()7 
Dans ralgcbrc des connexes, loulcs les formules et louLes 
les propriétés doivent être permanentes, c'est-à-dire sub- 
sister quand on remplace toute forme mixte par Tune quel- 
conque de ses équivalentes (28°). 
Sont bien entendu applicables aux congruences suivant 
le module o) les théories générales données par M. Konig 
sur les congruences (Ghap. 1, § 10; Chap. Vil, YIII et IX). 
Comme le module des congruences sera toujours w, j'écri- 
rai souvent : B = A, au lieu de : B = A (mod co). 
10° Je nommerai O le domaine des formes mixtes. L'Addi- 
tion (2°) et la Multiplication (3°) seront à l'équivalence 
près (23°) l'addition et la multiplication ordinaires du 1 1". 
Le zéro, module de l'Addition, sera toute forme mixte mul- 
tiple de co (22"). Cherchons quel est le module de la Multi- 
plication. Soient \l( ^ ce module et A f * " ^ une forme 
^ ^ \x\ a) \x\ u) 
mixte cjuelconque. On doit avoir 
KA. = A, 
oc -t- (7 = a, a' -1- (t' — a', d'où ur=(j'i=o. 
K est une constante. Nous verrons un peu plus bas (:^6°) que 
K = I . Donc la suite i , 1 -1- i , i -h i -1- i , . . . ne contient pas 
le zéro. Ainsi le domaine Çi est holoïde, à condition que nous 
démontrions (4") que l'équation 
où l'inconnue est la forme mixte X, n'est pas toujours réso- 
luble, cpielles que soient A et B. 
On devra avoir évidemment ^ — [3 — a, (3' — a'. Or il 
suffit de faire : a = i, a'= o, A = .r, ; = 2, = o; ^ = i, 
^'=0; ^ = x\ pour voir que l'équation (o) devient impos- 
sible. 
Soient deux fornws mixtes A et B, 
o, B = o. 
XIII. 
26° Théohkme. — 
avec A ^ o. Si AB = 
Ann. de Lyon — 
