Il4 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV. 
/j8" Prenons, comme au 46°, 
A =«,(... ) + ) + '^', 
B =//,(...)+.?(... ) + B'; 
A'=x'? A[,"»+xrp'A^LV + . . .. 
B'=:^'^By»' + ^''[~>By_V + ..., 
deux formes mixtes dont aucune n'admet (modco) le divi- 
seur u^ : alors 
A'^o, A[,'"^o, B^'p^o. 
On aura 
AB = u,(.. .) + . .) 4- A'B', 
A' B' = x^-^^K'ç) " B;,' " + ' (...) + .... 
Si l'on veut rendre AB divisible (modw) par w,, il faut (47") 
écrire que AB = o = A'B' pour m, = C = o. A'B' ne contient 
pas M,. Donc sont = 0 (mod'C) tous les coefficients des puis- 
sances de x^ dans A'B'; notamment Ap'"By"=o (mod'C). 
Or cela exige (26°), ou Ap'" = o (mod'C) ou B^ *'=o (modC), 
c'est-à-dire Ap " = oou By"=:o, ce qui n'est pas. Alors le 
facteur irréductible M, ne peut diviser (modco) le produit AB, 
sans diviser (mod co) soit A, soit B. 
Nous pouvons ainsi formuler une importante proposition. 
TiiÉonÈME. — Le facteur , qui est irréductible (modco), 
est aussi premier (^moàbi^ (^^")- 
49" Soit ^ nne forme mixte du type F''' (c'est- 
à-dire sans ) non divisible par u^. 
Supposons que a soit divisible (modco) par u'[ sans l'être 
par u'l^\ On dira que p est la catégorie de a. 
La catégorie est évidemment une propriété permanente. 
La recliercbc de la catégorie se fait sans difficulté ni aml)i- 
guïté par la théorie qui vient d'être explicjuée (4^", 
4 H"). Si a est divisible par m, (inodco), on écrira 
