Il8 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV. 
Si a + [5 ^ Y, f/| divise (modco) la forme C, ce qui est 
contre l'hypothèse. 
Si Y ^ a + u^ doit être un diviseur (modco) du pro- 
duit AB. Or M, ne divise (modw) ni A, ni B; u^ est un fac- 
teur premier {xnoàia) (48", in fine). AB ne peut admettre u^ 
pour diviseur (modca). 
Bref Y = a -f- p et C = ÀB. c. q. f. d. 
La présente démonstration a un corollaire évident : la caté- 
gorie d'un produit est la somme des catégories des fac- 
teurs. 
Dans cet énoncé il est indifférent d'entendre, soit la multi- 
plication ordinaire pour les formes du type F<'^, soit la multi- 
plication (inodoj) pour les formes mixtes. 
53° Soient A et B deux formes quelconques non divisibles 
(mod w) par m, (5i", in fine). Nommons d., de catégorie 0, 
le p. g. c. d. de a et de b. d existera toujours, puisque le do- 
maine constitué par les formes du type F*'' est complet (45"). 
Je dis que la forme mixte D, telle que 
d = u\ D ( modw ), 
est le p. g. c. d. (modoj) de A et de B. 
D'abord D, en vertu du théorème du 02", est un diviseur 
(modco) commun à A et à B, puisque d divise a el b. 
En second lieu, soit D', de catégorie 0', un diviseur (modco) 
commun à A et B, Le facteur d', tel que d'= u^'^D' , divise 
(théorème du 52°) a et b, et aussi leur p. g. c. d. qui est d. 
Puisque d' divise d, à son lour (théorème du 52") D' divise 
(modco) la. formel). 
Ainsi D est le p. g. c. d. (modco) des deux formes A et B. 
On écrii a 
(i) A=DP, BeeeDQ. 
Multiplions maintenant A et B par u\ et u'^i^ X ^ [x, de façon 
à introduire les deux formes mixtes quelconcpies 
